Слово по-весеннему – наречие. Оно образовано от прилагательного весенний при помощи приставки ПО- и суффикса -ЕМУ (вспомните правило написания через дефис приставок в наречиях) .
Морфемный состав данного наречия таков: по/-весе́н/н/ему – приставка/корень/суффикс/суффикс. Основой является всё слово – по-весеннему.