Метод понижения степени дифференциального уравнения или просто трехкратное интегрирование.
Так как sin2x=2*sinx*cosx, то f(x)=2cosx/sin³x
y```(x)=2cosx/sin³x
y``(x)=∫2cosxdx/sin³x=2∫d(sinx)/sin³x=(-1/sin²x)+C
y``(x)=(-1/sin²x)+C₁
y`(x)=∫((-1/sin²x)+C₁)dx
y`(x)=ctgx+C₁x+C₂
y(x)=∫ctgxdx+(C₁x²/2)+C₂x+C₃=(∫cosxdx/sinx)+(C₁x²/2)+C₂x+C₃=(∫d(sinx)/sinx)
+(C₁x²/2)+C₂x+C₃=ln|sinx|+(C₁x²/2)+C₂x+C₃
Общее решение у=ln|sinx|+(C₁x²/2)+C₂x+C₃
Используем начальные условия, чтобы найти частное решение.
1)y=1 при х=π/2
Подставляем в
у=ln|sinx|+(C₁x²/2)+C₂x+C₃
1=ln|sin(π/2))+(C₁/2)·(π/2)²+C₂·(π/2)+C₃
2)y`=2 х=π/2
Подставляем в
y`(x)=ctgx+C₁x+C₂
2=ctg(π/2)+C₁·(π/2)+C₂
3) y``=-1 при х=π/2
Подставляем в
y``(x)=(-1/sin²x)+C₁
-1=(-1/sin²(π/2))+C₁ ⇒ C₁=0
2=ctg(π/2)+C₁·(π/2)+C₂ ⇒C₂=2
1=ln|sin(π/2))+(C₁/2)·(π/2)²+C₂·(π/2)+C₃⇒ C₃=1-π
Частное решение
у=ln|sinx|+2x+1-π.