Сторона описанного правильного четырехугольника на √6 больше стороны
правильного четырехугольника, вписанного в ту же окружность.
Найдите сторону четырехугольника.
Решение.
Радиус окружности, вокруг которой описан квадрат со стороной а (правильный
четырехугольник) равен R=а/2.
Радиус окружности, в которую вписан квадрат со стороной b (правильный
четырехугольник) равен R=b√2/2. Окружность ОДНА.
Следовательно, а/2=b√2/2. b=a-√6 (дано).
Тогда а/2=(a-√6)*√2/2 или a=a√2-√12.
a(√2-1)=√12.
a=√12/(√2-1)=2√3/(√2-1). - сторона описанного четырехугольника.
b=2√3/(√2-1)-√6=√6/(√2-1). - сторона вписанного четырехугольника.
Ответ: а=2√3/(√2-1). b=√6/(√2-1).
Второй вариант, через стороны:
Разность сторон квадратов a-b=√6.
Сторона описанного квадрата a=2R, сторона вписанного квадрата b=R√2, отсюда
2R-R√2=√6, R=√6/(2-√2). Тогда а=2√6/(2-√2). Вынесем в знаменателе √2 за
скобки: а=2√6/√2(√2-1)=2√3/(√2-1).
b=√2*√6/(2-√2) или, проделав то же самое: b=√6/(√2-1) - Как и в первом
варианте.
Ответ: а=2√3/(√2-1). b=√6/(√2-1).
P.S. Если умножить числитель и знаменатель на (√2+1), то освободимся от дроби
и получим ответ: а=2√3*(√2+1) и b=√6*(√2+1).
Проверка: a-b: (2√3-√2*√3)/(√2-1)-√3(2-√2)/(√2-1)=√3*√2*(√2-1)/(√2-1) = √6,
или a-b: 2√3*(√2+1)-√6*(√2+1)=2√6+2√3-2√3-√6 = √6.
