Помогите пожалуйста с этими тремя интегралами ** фото.

Question 1

Помогите пожалуйста с этими тремя интегралами на фото.

Question 2

$\int\limits {(3x- \sqrt[7]{ x^{3} }+2sinx-3 )} \, dx =$
$=3 \int\limits {x} \, dx - \int\limits { x^{ \frac{3}{7} } } \, dx +2 \int\limits {sinx} \, dx -3 \int\limits {} \, dx =$
$=3 \frac{ x^{2} }{2} - \frac{x^{ \frac{3}{7} +1} }{\frac{3}{7} +1} -2cosx-3x+C= \frac{ 3x^{2} }{2} - \frac{7x \sqrt[7]{x^3} }{10} -2cosx-3x+C$
$\int\limits ({x^7- \frac{1}{ \sqrt[3]{x} }+2^x )} \, dx = \int\limits {x^7} \, dx - \int\limits {x^{- \frac{1}{3} }} \, dx + \int\limits {2^x} \, dx =$

$= \frac{x^8}{8} - \frac{x^{- \frac{1}{3} +1}}{- \frac{1}{3} +1} + \frac{2^x}{ln2} +C=\frac{x^8}{8} - \frac{x^{ \frac{2}{3}}}{ \frac{2}{3} } + \frac{2^x}{ln2} +C=\frac{x^8}{8} - \frac{ 3\sqrt[3]{ x^{2}}}{2} + \frac{2^x}{ln2} +C$

$\int\limits {x*arcsinx} \, dx$
Будем интегрировать по частям по формуле:
$\int\limits {u} \, dv =uv- \int\limits {v} \, du$
$u=arcsinx,$ $du= \frac{dx}{ \sqrt{1- x^{2} } } ,$
$xdx=dv,$ $\int\limits {x} \, dx= \int\limits {} \, dv ,$ $\frac{ x^{2} }{2} =v.$
Тогда имеем:
$\int\limits {x*arcsinx} \, dx =\frac{ x^{2} }{2} arcsinx- \int\limits {\frac{ x^{2} }{2} } \frac{dx}{ \sqrt{1- x^{2} } }\, =$
$\frac{ x^{2} }{2} arcsinx- \frac{1}{2} \int\limits { \frac{ x^{2} }{ \sqrt{1- x^{2} } } } \, dx = \frac{1}{2}( x^{2} arcsinx- \int\limits { \frac{ x^{2} }{ \sqrt{1- x^{2} } } } \, dx )=(*)$
Решим отдельно интеграл $\int\limits { \frac{ x^{2} }{ \sqrt{1- x^{2} } } } \, dx$
Сделаем замену: $x=sint, dx=cost dt$ , $t=arcsinx$ .
$\int\limits { \frac{ x^{2} }{ \sqrt{1- x^{2} } } } \, dx = \int\limits { \frac{sin^{2}t*cost}{ \sqrt{1-sin^{2}t} } } \, dt = \int\limits {\frac{sin^{2}t*cost}{ \sqrt{cos^{2}t} } } \, dt= \int\limits {\frac{sin^{2}t*cost}{{cost} } } \, dt=$
$=\int\limits {sin^{2}t}\, dt = \int\limits { \frac{1-cos2t}{2} } \, dt= \frac{1}{2} \int\limits {(1-cos2t)} \, dt= \frac{1}{2}[ \int\limits {} \, dt - \int\limits {cos2t} \, dt] =$
$= \frac{1}{2}[ t - \int\limits {cos2t} \, dt] = \frac{1}{2}[ t - \frac{1}{2} \int\limits {cos(2t)} \, d(2t)] = \frac{1}{2}[ t - \frac{1}{2} sin(2t)+C]$
Вернемся к замене: $\frac{1}{2}[ t - \frac{1}{2} sin(2t)+C}= \frac{1}{2}[t- \frac{1}{2} 2sint*cost+C}=$
$\frac{1}{2}[t-sint* \sqrt{1- sin^{2}t} } +C]=\frac{1}{2}[acrsinx-x* \sqrt{1- x^{2}} } +C]$

$(*)=\frac{1}{2}( x^{2} arcsinx- \frac{1}{2}[acrsinx-x* \sqrt{1- x^{2}} } +C])=$
$=\frac{ x^{2}arcsinx }{2}- \frac{arcsinx}{4}- \frac{x\sqrt{1- x^{2}}}{4} +C$