Докажите, что сумма кубов двух последовательных натуральных чисел, ни одно из которых не...

Question

Докажите, что сумма кубов двух последовательных натуральных чисел, ни одно из которых не кратно 3, делится нацело на 9.

Answer 1

Первое число 3k + 1, второе 3k + 2 (два последовательных числа, не делящихся на 3 имеют остатки 1 и 2 при делении на 3 соответственно)

(3k+1)³ + (3k+2)³ = 27k³ + 27k² + 9k + 1 + 27k³ + 54k² + 36k + 8 = 
= 54k³ + 81k² + 45k + 9 = 9(6k³ + 9k² + 5k + 1) 

очевидно делится на 9, для любого k ≥ 0

Comments

спасибо большое!!! а то я сижу сижу. никак решить не могу!

Answer 2

Если ни одно из чисел не делится на 3, и они последовательные, то мы можем их обозначить, как 3x+1 и 3x+2
(3x+1)³+(3x+2)³=(3x+1+3x+2)((3x+1)²-(3x+1)(3x+2)+(3x+2)²)=3(2x+1)(9x²+6x+1-9x²-3x-6x-2+9x²+12x+4)=3(2x+1)(9x²+9x+3)=9(2x+1)(3x²+3x+1)
Среди множителей есть 9 => число делится на 9 нацело

Comments

спасибо большое! а то я тут сижу сижу! никак решить не могу!

---

Отметьте решение как лучшее, это будет лучшая благодарность