ОбъяездИли (почему мы пишем И?) ПрЕодолели (почему мы пишем Е?) В МузеЕ (почему мы пишем Е?) ШахмАты (почему мы пишем А?)
в музее - П. падеж, поэтому Е пишем
Объездили - второе спряжение. Преодолели - Приставку пре- можно заменить пере-. Имеется в виде "сделано с трудом". В музее - 2 склонение предложного падежа. Шахматы - слово образовано от "шах" и "мат".