Математическим маятником называют материальную точку, подвешенную на невесомой и нерастяжимой нити, прикрепленной к подвесу и находящейся в поле силы тяжести (или иной силы).
Исследуем колебания математического маятника в инерциальной системе отсчета, относительно которой точка его подвеса находится в покое или движется равномерно прямолинейно. Силой сопротивления воздуха будем пренебрегать (идеальный математический маятник). Первоначально маятник покоится в положении равновесия С. При этом действующие на него сила тяжести и сила упругости F?ynp нити взаимно компенсируются.
Выведем маятник из положения равновесия (отклонив его, например, в положение А) и отпустим без начальной скорости (рис. 1). В этом случае силы и не уравновешивают друг друга. Тангенциальная составляющая силы тяжести , действуя на маятник, сообщает ему тангенциальное ускорение a?? (составляющая полного ускорения, направленная вдоль касательной к траектории движения математического маятника), и маятник начинает двигаться к положению равновесия с возрастающей по модулю скоростью. Тангенциальная составляющая силы тяжести является, таким образом, возвращающей силой. Нормальная составляющая силы тяжести направлена вдоль нити против силы упругости . Равнодействующая сил и сообщает маятнику нормальное ускорение , которое изменяет при этом направление вектора скорости, и маятник движется по дуге ABCD.
Чем ближе подходит маятник к положению равновесия С, тем меньше становится значение тангенциальной составляющей . В положении равновесия она равна нулю, а скорость достигает максимального значения, и маятник движется по инерции дальше, поднимаясь по дуге вверх. При этом составляющая направлена против скорости. С увеличением угла отклонения а модуль силы увеличивается, а модуль скорости уменьшается, и в точке D скорость маятника становится равной нулю. Маятник на мгновение останавливается, а затем начинает двигаться в обратном направлении к положению равновесия. Вновь пройдя его по инерции, маятник, замедляя движение, дойдет до точки А (трение отсутствует), т.е. совершит полное колебание. После этого движение маятника будет повторяться в уже описанной последовательности.
Получим уравнение, описывающее свободные колебания математического маятника.
Пусть маятник в данный момент времени находится в точке В. Его смещение S от положения равновесия в этот момент равно длине дуги СВ (т.е. S = |СВ|). Обозначим длину нити подвеса l, а массу маятника — m.
Из рисунка 1 видно, что , где . При малых углах () отклонения маятника , поэтому
Знак минус в этой формуле ставят потому, что тангенциальная составляющая силы тяжести направлена к положению равновесия, а смещение отсчитывают от положения равновесия.
Согласно второму закону Ньютона . Спроецируем векторные величины этого уравнения на направление касательной к траектории движения математического маятника
Из этих уравнений получим
— динамическое уравнение движения математического маятника. Тангенциальное ускорение математического маятника пропорционально его смещению и направлено к положению равновесия. Это уравнение можно записать в видеa
Сравнивая его с уравнением гармонических колебаний , можно сделать вывод, что математический маятник совершает гармонические колебания. А так как рассмотренные колебания маятника происходили под действием только внутренних сил, то это были свободные колебания маятника. Следовательно, свободные колебания математического маятника при малых отклонениях являются гармоническими.
Обозначим
— циклическая частота колебаний маятника.
Период колебаний маятника . Следовательно,
Это выражение называют формулой Гюйгенса. Оно определяет период свободных колебаний математического маятника. Из формулы следует, что при малых углах отклонения от положения равновесия период колебаний математического маятника:
не зависит от его массы и амплитуды колебаний;пропорционален корню квадратному из длины маятника и обратно пропорционален корню квадратному из ускорения свободного падения.
Это согласуется с экспериментальными законами малых колебаний математического маятника, которые были открыты Г. Галилеем.
Подчеркнем, что эту формулу можно использовать для расчета периода при одновременном выполнении двух условий:
колебания маятника должны быть малыми;точка подвеса маятника должна покоиться или двигаться равномерно прямолинейно относительно инерциальной системы отсчета, в которой он находится.
Если точка подвеса математического маятника движется с ускорением то при этом изменяется сила натяжения нити, что приводит к изменению и возвращающей силы, а следовательно, частоты и периода колебаний. Как показывают расчеты, период колебаний маятника в этом случае можно рассчитать по формуле
где — "эффективное" ускорение маятника в неинерциальной системе отсчета. Оно равно геометрической сумме ускорения свободного падения и вектора, противоположного вектору , т.е. его можно рассчитать по формуле