Прежде всего отметим, что число матчей, сыгранных с другими командами увеличивается от 0 до 19 и точно не больше 19.
Если предположить, что есть момент, когда все команды сыграли разное число матчей, то это возможно при единственном раскладе
1) есть только одна команда, которая не играла (0)
2) есть только одна команда, которая сыграла ровно одну игру (1)
3) есть только одна команда, которая сыграла ровно две игры (2)
.
.
.
20) есть только одна команда, которая сыграла ровно 19 игр (19)
Только так реализуются 20 различных чисел от 0 до 19. Получаем противоречие - последняя команда сыграла со всеми, но первая почему-то не играла ни с кем.
Значит предположение неверно, и поэтому в любой момент состязаний имеются две команды, сыгравшие к этому моменту одинаковое количество матчей