"Теоремы о пределах", высшая математика. Помогите решить пределы, пожалуйста

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

$1)\,\,\, \lim_{x \to 3} \bigg(5-4x+x^2\bigg)=5-4\cdot 3+3^2=5-12+9=\boxed{2}$

$2) \lim_{x \to 5} \dfrac{x^2-25}{x-5} =\lim_{x \to 5} \dfrac{(x-5)(x+5)}{x-5} =\lim_{x \to 5} \bigg(x+5\bigg)=\boxed{10}$

$3)$ Разложим числитель и знаменатель на множители:
$3x^2+x-2=0$
Вычислим дискриминант
$D=b^2-4ac=1^2-4\cdot3\cdot(-2)=25$
$D\ \textgreater \ 0$ , значит квадратное уравнение имеет 2 корня:
$x_1= \dfrac{-b+ \sqrt{D} }{2a} = \dfrac{-1+5}{6} = \dfrac{2}{3} ;\\ \\ x_2= \dfrac{-b- \sqrt{D} }{2a} = \dfrac{-1-5}{6} =-1$

Разложение: $3x^2+x-2=3(x+1)(x- \frac{2}{3} )=(x+1)(3x-2)$

$4x^2+x-3=0$
Вычислим дискриминант квадратного уравнения:
$D=b^2-4ac=1^2-4\cdot4\cdot(-3)=49$
Найдем корни квадратного уравнения по формулам:
$x_1= \dfrac{-b+ \sqrt{D} }{2a} = \dfrac{-1+7}{8} = \dfrac{3}{4} ;\\ \\ x_2= \dfrac{-b- \sqrt{D} }{2a} = \dfrac{-1-7}{8} =-1$

Разложение: $4x^2+x-3=4(x+1)(x- \frac{3}{4} )=(x+1)(4x-3)$
Вычислим предел теперь:
$\lim_{x \to -1} \dfrac{(x+1)(3x-2)}{(x+1)(4x-3)} = \lim_{x \to -1} \dfrac{3x-2}{4x-3} = \dfrac{3\cdot(-1)-2}{4\cdot(-1)-3}=\boxed{ \dfrac{5}{7} }$

$4)$ домножим числитель и знаменатель на сопряженное:
$\lim_{x \to 0} \dfrac{2x\cdot( \sqrt{4+x} + \sqrt{4-x} )}{( \sqrt{4+x} )^2-( \sqrt{4-x} )^2} = \lim_{x \to 0} \dfrac{2x\cdot( \sqrt{4+x}+ \sqrt{4-x}) }{4+x-4+x} =\\ \\ \\ = \lim_{x \to 0} \dfrac{2x\cdot( \sqrt{4+x}+ \sqrt{4-x}) }{2x} = \lim_{x \to 0} ( \sqrt{4+x} + \sqrt{4-x} )=\boxed{4}$

$5)$ Разделим числитель и знаменатель дроби на $x^3$
$\lim_{x \to \infty} \dfrac{ \frac{4x^3}{x^3}+ \frac{2x^2}{x^3} - \frac{1}{x^3} }{ \frac{7}{x^3}- \frac{2x}{x^3} + \frac{3x^3}{x^3} } = \lim_{x \to \infty} \dfrac{4+ \frac{2}{x}- \frac{1}{x^3} }{3- \frac{2}{x^2}+ \frac{7}{x^3} } = \dfrac{4+0-0}{3-0+0} =\boxed{ \frac{4}{3} }$

$6) \lim_{x \to 1} \dfrac{x^3-3x^2+4x-2}{x^3-2x^2+1} =\lim_{x \to 1} \dfrac{(x-1)(x^2-2x+2)}{(x-1)(x^2-x-1)} =\\ \\ \\ =\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2-2x+2}{x^2-x-1} = \dfrac{1^2-2\cdot1+2}{1^2-1-1} =\boxed{-1}$

$7)$ Воспользуемся эквивалентностью функции: $\sin x\,\, \sim \,\, x,\,\,\,\,\, x\to 0$
$\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin^3 \frac{x}{5} }{x^3} =\lim_{x \to 0} \dfrac{( \frac{x}{5} )^3}{x^3} = \boxed{ \frac{1}{125} }$

$8)$ Второй замечательный предел: $\lim_{x \to \infty} \bigg(1+ \dfrac{1}{x} \bigg)=e$

$\lim_{x \to \infty} \bigg(1+ \dfrac{7}{x} \bigg)^\big{2x}=\lim_{x \to \infty} \bigg(1+ \dfrac{7}{x} \bigg)^\big{2x\cdot \frac{7}{x} \cdot \frac{x}{7} }=\\ \\ \\ =e^\big{\lim_{x \to \infty} \frac{2x\cdot 7}{x} }=\boxed{e^{14}}$

$9)$ Снова же второй замечательный предел:
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinfty%7D+%5Cbigg%28+%5Cdfrac%7Bx%2B1%7D%7Bx-2%7D%5Cbigg%29%5E%5Cbig%7B+%5Cfrac%7Bx%7D%7B3%7D+%7D+%3D%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinfty%7D+%5Cbigg%28+%5Cdfrac%7Bx-2%2B3%7D%7Bx-2%7D+%5Cbigg%29%5E%5Cbig%7B+%5Cfrac%7Bx%7D%7B3%7D+%7D%3D%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinfty%7D+%5Cbigg%281%2B+%5Cdfrac%7B3%7D%7Bx-2%7D%5Cbigg%29%5E%5Cbig%7B+%5Cfrac%7Bx%7D%7B3%7D+%7D+%3D" id="TexFormula27" title="\lim_{x \to \infty} \bigg( \dfrac{x+1}{x-2}\bigg)^\big{ \frac{x}{3} } =\lim_{x \to \infty} \bigg( \dfrac{x-2+3}{x-2} \bigg)^\big{ \frac{x}{3} }=\lim_{x \to \infty} \bigg(1+ \dfrac{3}{x-2}\bigg)^\big{ \frac{x}{3} } =" alt="\lim_{x \to \infty} \bigg( \dfrac{x+1}{x-2}\bigg)^\big{ \frac{x}{3} } =\lim_{x \to \infty} \bigg( \dfrac{x-2+3}{x-2} \bigg)^\big{ \frac{x}{3} }=\

аноним 10 Май, 18