Пожалуйста помогите..................

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

а) Рассмотрим разность последующего и предыдущего членов:
$x_{n+1}-x_n= \dfrac{3(n+1)+1}{4(n+1)-3}- \dfrac{3n+1}{4n-3}= \dfrac{3n+4}{4n+1}- \dfrac{3n+1}{4n-3}= \\\ = \dfrac{(3n+4)(4n-3)-(3n+1)(4n+1)}{(4n+1)(4n-3)}= \\\ = \dfrac{12n^2-9n+16n-12-12n^2-3n-4n-1}{(4n+1)(4n-3)}= \dfrac{-13}{(4n+1)(4n-3)}$
Как видно, такая разность при натуральных n отрицательна, поэтому последовательность убывает.
б) Рассмотрим разность $x_n- \dfrac{3}{4}$ :
$x_n- \dfrac{3}{4}=\dfrac{3n+1}{4n-3}- \dfrac{3}{4}=\dfrac{4(3n+1)-3(4n-3)}{3(4n-3)}= \\\ =\dfrac{12n+4-12n+9}{3(4n-3)}=\dfrac{13}{3(4n-3)}$
Разность при натуральных n положительна, это говорит о том, что в разности уменьшаемое больше вычитаемого: $x_n\ \textgreater \ \dfrac{3}{4}$

Обозначим члены бесконечно убывающей геометрической прогрессии: $b_1; \ b_2; \ b_3; \ ...$ , знаменатель $q$
Тогда квадраты $b_1^2; \ b_2^2; \ b_3^2; \ ...$ образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $q^2$ , а кубы $b_1^3; \ b_2^3; \ b_3^3; \ ...$ -геометрическую прогрессию со знаменателем $q^3$
Составляем систему по условию:
$\left\{\begin{array}{l} \dfrac{ \dfrac{b_1^3}{1-q^3} }{\dfrac{b_1^2}{1-q^2}} = \dfrac{20}{21} \\ b_1+b_1q=1.25 \end{array}$
$\left\{\begin{array}{l} \dfrac{ \dfrac{b_1}{(1-q)(1+q+q^2)} }{\dfrac{1}{(1-q)(1+q)}} = \dfrac{20}{21} \\ b_1(1+q)=1.25 \end{array}$
$\left\{\begin{array}{l} \dfrac{b_1(1+q)}{1+q+q^2} = \dfrac{20}{21} \\ b_1(1+q)=1.25 \end{array}$
$\dfrac{1.25}{1+q+q^2} = \dfrac{20}{21} \\\ 1+q+q^2=1.25: \dfrac{20}{21} \\\ 1+q+q^2= \dfrac{21}{16} \\\ q^2+q+1- \dfrac{21}{16} =0 \\\ q^2+q- \dfrac{5}{16} =0 \\\ 16q^2+16q-5=0 \\\ D_1=8^2-16\cdot(-5)=64+80=144 \\\ q_1= \dfrac{-8-12 }{16} =-\dfrac{5 }{4}; \ q_2= \dfrac{-8+12 }{16} =\dfrac{1 }{4}$
Корень $q_1=-\dfrac{5}{4}$ не удовлетворяет условию задачи, так как в бесконечно убывающей геометрической прогрессии $|q|\ \textless \ 1$
Значит, $q=\dfrac{1}{4}$
$b_1= \dfrac{1.25}{1+q}= \dfrac{1.25}{1+ \frac{1}{4} } =1 \\\ b_3=b_1q^2=1\cdot\left( \dfrac{1}{4} \right)^2= \dfrac{1}{16}$
Ответ: 1/16

Artem112_zn (270k баллов) 10 Май, 18