Пожалуйста помогите..................

0 голосов
34 просмотров

Пожалуйста помогите..................


image
image

Алгебра (7.2k баллов) | 34 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ
а) Рассмотрим разность последующего и предыдущего членов:
x_{n+1}-x_n= \dfrac{3(n+1)+1}{4(n+1)-3}- \dfrac{3n+1}{4n-3}=
 \dfrac{3n+4}{4n+1}- \dfrac{3n+1}{4n-3}=
\\\
= \dfrac{(3n+4)(4n-3)-(3n+1)(4n+1)}{(4n+1)(4n-3)}=
\\\
= \dfrac{12n^2-9n+16n-12-12n^2-3n-4n-1}{(4n+1)(4n-3)}=
\dfrac{-13}{(4n+1)(4n-3)}
Как видно, такая разность при натуральных n отрицательна, поэтому последовательность убывает.
б) Рассмотрим разность x_n- \dfrac{3}{4}:
x_n- \dfrac{3}{4}=\dfrac{3n+1}{4n-3}- \dfrac{3}{4}=\dfrac{4(3n+1)-3(4n-3)}{3(4n-3)}=
\\\
=\dfrac{12n+4-12n+9}{3(4n-3)}=\dfrac{13}{3(4n-3)}
Разность при натуральных n положительна, это говорит о том, что в разности уменьшаемое больше вычитаемого: x_n\ \textgreater \ \dfrac{3}{4}

Обозначим члены бесконечно убывающей геометрической прогрессии: b_1; \ b_2; \ b_3; \ ..., знаменатель q
Тогда квадраты b_1^2; \ b_2^2; \ b_3^2; \ ... образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q^2, а кубы b_1^3; \ b_2^3; \ b_3^3; \ ... -геометрическую прогрессию со знаменателем q^3
Составляем систему по условию:
\left\{\begin{array}{l} \dfrac{ \dfrac{b_1^3}{1-q^3} }{\dfrac{b_1^2}{1-q^2}} = \dfrac{20}{21} \\ b_1+b_1q=1.25 \end{array}
\left\{\begin{array}{l} \dfrac{ \dfrac{b_1}{(1-q)(1+q+q^2)} }{\dfrac{1}{(1-q)(1+q)}} = \dfrac{20}{21} \\ b_1(1+q)=1.25 \end{array}
\left\{\begin{array}{l} \dfrac{b_1(1+q)}{1+q+q^2} = \dfrac{20}{21} \\ b_1(1+q)=1.25 \end{array}
\dfrac{1.25}{1+q+q^2} = \dfrac{20}{21} \\\ 1+q+q^2=1.25: \dfrac{20}{21} \\\ 1+q+q^2= \dfrac{21}{16} \\\ q^2+q+1- \dfrac{21}{16} =0 \\\ q^2+q- \dfrac{5}{16} =0 \\\ 16q^2+16q-5=0 \\\ D_1=8^2-16\cdot(-5)=64+80=144 \\\ q_1= \dfrac{-8-12 }{16} =-\dfrac{5 }{4}; \ q_2= \dfrac{-8+12 }{16} =\dfrac{1 }{4}
Корень q_1=-\dfrac{5}{4} не удовлетворяет условию задачи, так как в бесконечно убывающей геометрической прогрессии |q|\ \textless \ 1
Значит, q=\dfrac{1}{4}
b_1= \dfrac{1.25}{1+q}= \dfrac{1.25}{1+ \frac{1}{4} } =1
\\\
b_3=b_1q^2=1\cdot\left( \dfrac{1}{4} \right)^2= \dfrac{1}{16}
Ответ: 1/16
(271k баллов)