Формула №1:
-b ± √D
x = ————, где D = b2 – 4ac.
2a
Латинской буквой D обозначают дискриминант.
Дискриминант - это выражение, от которого зависит число корней данного уравнения.
Если D < 0, то уравнение не имеет корней.
Если D = 0, то уравнение имеет один корень.
Если D > 0, то уравнение имеет два корня.
Пример. Решим уравнение 12x2 + 7x + 1 = 0.
Сначала вычислим дискриминант.
Мы видим, что а = 12, b = 7, c = 1.
Итак:
D = b2 – 4ac = 72 – 4 · 12 · 1 = 49 – 48 = 1.
D > 0. Значит, уравнение имеет корни (причем два корня), а значит, можно вычислять дальше.
Чтобы найти корни, применим формулу корней квадратного уравнения:
-b ± √D -7 ± √1 -7 ± 1
x = ———— = ———— = ————
2a 24 24
Находим оба значения x:
-7 + 1 -6 -1 1
x1 = ——— = —— = — = – —
24 24 4 4
-7 – 1 -8 -1 1
x2 = ——— = —— = — = – — .
24 24 3 3
1 1
Ответ: x1 = – —, x2 = – —
4 3
Формула №2.
Из формулы №1 можно получить другую формулу, которой удобно пользоваться в случаях, когда второй коэффициент – четное число. В этом случае раскладываем его на множители, один из которых – множитель 2. То есть второй коэффициент представляем в виде 2k, где k – это половина изначально заданного числа. Тогда удобно пользоваться формулой:
-k ± √D1
x = ————, где D1 = k2 – ac
a
Пример. Решим уравнение 5x2 – 16x + 3 = 0.
Записываем -16x в виде 2 · (-8x). Тогда k = -8, a = 5, c = 3. Мы уже можем найти дискриминант D1:
D1 = k2 – ac = (-8)2 – 5 · 3 = 64 – 15 = 49.
Теперь находим оба значения x:
-k ± √D1 - (-8) ± √49 8 ± 7
x = ———— = ————— = ———
a 5 5
Отсюда:
8 + 7 15
x1 = ——— = — = 3
5 5
8 – 7 1
x2 = ——— = — = 0,2
5 5
Ответ: x1 = 3; x2 = 0,2.
При решении квадратного уравнения по данным формулам целесообразно поступать следующим образом:
1) вычислить дискриминант и сравнить его с нулем;
2) если дискриминант положителен или равен нулю, то воспользоваться формулой корней; если дискриминант отрицателен, то записать, что корней нет.