4) Дано 5tg x-3ctg x+14 = 0, заменим ctg x = 1/tg x.
5tg x-3(1/tg x)+14 = 0 приведём к общему знаменателю:
(5tg² x+14tg x-3)/tg x = 0, приравниваем числитель нулю при условии, что tg x ≠ 0. Заменим tg x = t.
Решаем квадратное уравнение 5t²+14t-3 = 0.
Ищем дискриминант:
D=14^2-4*5*(-3)=196-4*5*(-3)=196-20*(-3)=196-(-20*3)=196-(-60)=196+60=256;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
t₁=(√256-14)/(2*5)=(16-14)/(2*5)=2/(2*5)=2/10=0.2;t₂=(-√256-14)/(2*5)=(-16-14)/(2*5)=-30/(2*5)=-30/10=-3.
Ответ: х₁ = arc tg 0,2 + πk ≈ 0,197396 + πk, k ∈ Z.
x₂ = arc tg (-3) + πk ≈ -1,24905 + πk, k ∈ Z.
5) Дано 2sin² x - 7sin 2x = 16cos² x.
2sin² x - 7sin 2x - 16cos² x = 0.
К левой части уравнения добавим и отнимем число 7.
2sin² x - 7sin 2x - 16cos² x +7 - 7 = 0.
Замена: cos² x - sin² x = cos 2x. Заменим 7 = 7sin² x + 7cos² x.2sin² x - 7sin 2x - 16cos² x+ 7sin 2x + 7cos² x - 7= 0. Приводим подобные:
-9cos² x + 9sin² x - 7sin² x - 7 = 0. Первые 2 слагаемых заменяем:
-9cos 2x - 7sin 2x - 7 = 0.
Вводим универсальную тригонометрическую подстановку tg x = y (через тангенс половинного угла): sin 2x = 2y/(y²+1), cos 2x = (1-y²)/(y²+1).
Подставляем в полученное выше уравнение:
.
Приводим к общему знаменателю и подобные:
В числителе выносим 2 за скобки и сокращаем:
Знаменатель не может быть равен 0, приравниваем нулю числитель:
у² - 7у - 8 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно y: Ищем дискриминант:
D=(-7)^2-4*1*(-8)=49-4*(-8)=49-(-4*8)=49-(-32)=49+32=81;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
y₁ = (√81-(-7))/(2*1)=(9-(-7))/2=(9+7)/2=16/2=8;
y₂ = (-√81-(-7))/(2*1)=(-9-(-7))/2=(-9+7)/2=-2/2=-1.
Квадратный трёхчлен раскладываем на множители: (у-8)(у+1) = 0
Ответ: х₁ = arc tg 8 + πk ≈ 1,446441 + πk, k ∈ Z.
x₂ = arc tg (-1) + πk = -π/4 + πk, k ∈ Z.
6) Дано 14sin² x + 4cos 2x = 11sin 2x - 4.
Задача решается аналогично предыдущей: добавляем +7 и -7.
+7 = 7sin² x + 7cos² x.
Приводим подобные, замену и получаем 11 - 3cos 2x - 11sin 2x = 0.
Вводим замену: tg x = y.
Получаем квадратное уравнение 7у² - 11у + 4 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно y: Ищем дискриминант:
D=(-11)^2-4*7*4=121-4*7*4=121-28*4=121-112=9;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
y_1=(√9-(-11))/(2*7)=(3-(-11))/(2*7)=(3+11)/(2*7)=14/(2*7)=14/14=1;
y_2=(-√9-(-11))/(2*7)=(-3-(-11))/(2*7)=(-3+11)/(2*7)=8/(2*7)=8/14 = 4/7 ≈ 0,571429.
Ответ: х₁ = arc tg 1 + πk = (π/4) + πk , k ∈ Z.
x₂ = arc tg (4/7) + πk ≈ 0,519146 + πk, k ∈ Z.