N=3
Высота правильного (малого) треугольника является и медианой. Медианы делят друг друга в отношение 2:1 от вершины. Центр пересечения медиан - центр описанной окружности.
1,5R - высота малого треугольника.
По теореме Пифагора найдём сторону малого треугольника.
x² = x²/4 + 9R²/4
4x² = x² + 9R²
x² = 3R²
x = R√3
P малого Δ = 3R√3
Аналогично находим высоту большего треугольника. Окружность в него вписана, её центр лежит на пересечение медиан. Отсюда находим, что высота = 3R.
x² = x²/4 + 9R²
3x² = 36R²
x = 2R√3
P большого Δ = 6R√3
Отношение P-ов: 6R√3:3R√3 = 2:1
n=4
Сторона большего квадрата = 2R
P большего квадрата = 8R
Диагональ меньшего квадрата = 2R
По теореме Пифагора найдём сторону меньшего квадрата:
4R² = 2x²
x² = 2R²
x = R√2
P меньшего квадрата = 4R√2
Отношение P-ов: 8R:4R√2 = 2:√2
n=6
R - сторона меньшего шестиугольника.
P меньшего шестиугольника = 6R
R - высота треугольника (1/6 шестиугольника; от центра провести отрезки к двум соседним вершинам)
По теореме Пифагора найдём сторону шестиугольника:
R² + x²/4 = x²
3x² = 4R²
x² = 4R²/3
x = 2R/√3
P большего шестиугольника = 12R/√3
Отношение P-ов: 12R/√3:6R = 2/√3 : 1