15 = 3•5
Значит n(n+1) + 2 надо попытаться разделить и на 3, и на 5.
Признак делимости на 3: сумма цифр, из которых состоит число, должно делиться на 3.
Признак делимости на 5: делимое должно заканчиваться либо на 0, либо на 5.
n²+n+2 = n(n+1) + 2
Получается, что к произведению двух идущих подряд натуральных чисел прибавляется 2.
Чтобы в конце этой суммы получалось 5 либо 0, надо, чтобы
n(n+1) оканчивалось на 3 либо 8.
Но перебирая результаты n(n+1) получаем:
1•2=2
2•3=6
3•4=12
4•5=20
5•6=30
6•7=42
7•8•56
8•9 = 72
9•10 = 90
10•11 + 110
11•12=132
12•13=156
13•14= 182
Уже видно, что произведение подряд идущих натуральных чисел всегда четное и заканчивается либо на 2, либо на 6, либо на 0.
Если к такому произведению прибавить 2, то полученная сумма никогда не заканчивается ни на 5, ни на 0.
Это означает, что n(n+1) + 2 не делится на 5, следовательно не делится и на 15.