1) Дана функция у = х⁴-4х+4.
y' = 4x³-4.
Приравниваем производную нулю: 4x³-4 = 4(x³-1) = 0, x³ = 1, х = 1.
Критическая точка х = 1.
Находим значения производной левее и правее от критической.
х = 0, y' = -4.
x = 2. y' = 4*8-4 = 28.
У функции одна экстремальная точка - это минимум (с - на +).
Уо = 1³-4*1+4 = 1.
Все значения функции лежат в положительной полуплоскости, то есть при любом значении переменной функция положительна.
2) Дана функция (1/3)х³+х²-3х-4.
y' = x²+2x-3 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=2^2-4*1*(-3)=4-4*(-3)=4-(-4*3)=4-(-12)=4+12=16;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x₁=(√16-2)/(2*1)=(4-2)/2=2/2=1;
x₂=(-√16-2)/(2*1)=(-4-2)/2=-6/2=-3.
Имеем 2 критические точки: х =1 и х = -3.Находим значения производной левее и правее от критической.
Первая точка Хо =1:
х = 0, y' = -3,
x = 2, y' = 4+4-3 = 5.
Знак производной меняется с - на + это минимум функции.
Вторая точка Хо = -3:
х = -4, y' = 16-8-3 = 5,
x = -2, y' = 4-4-3 = -3.
Знак производной меняется с + на - это максимум функции.
3.а) Дана функция у = х³-12х²+145.
y' = 3x²-24x, y'' = 6x-24.
Приравниваем вторую производную нулю:
6х-24 = 6(х-4) = 0. Отсюда х = 4 это точка перегиба функции.
Находим значения второй производной левее и правее точки перегиба.
х = 3, y'' = 6*3-24 = -6, график при х < 4 выпуклый.
x = 5, y'' = 6*5-24 = 6, график при х > 4 вогнутый.
Где
вторая производная меньше нуля, там график функции выпуклый, а где больше -
вогнутый.
3.б) Дана функция (1/3)х³+х²+(1/3).
y' = x²+2x, y'' = 2x+2 = 2(x+1) = 0, x = -1 это точка перегиба функции.
x = -2, y'' = -4+2 = -2, график при х < -1 выпуклый.
x = 0, y'' = 2, график при х > -1 вогнутый.
4) Дан закон движения точки s = -(1/3)t³+3t²+5t+3.
V = s' = -t²+6t+5 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно t: Ищем дискриминант:
D=6^2-4*(-1)*5=36-4*(-1)*5=36-(-4)*5=36-(-4*5)=36-(-20)=36+20=56;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
t_1=(√56-6)/(2*(-1))=(√56-6)/(-2)= -(√56-6)/2= -(√56/2-6/2)= -(√56/2-3) = -√56/2+3 = 3-√14 ≈ -0,741657;t_2=(-√56-6)/(2*(-1))=(-√56-6)/(-2)=-(-√56-6)/2=-(-√56/2-6/2)=-(-√56/2-3) = √56/2+3 = √14 + 3 ≈ 6,741657.
Находим максимум скорости среди полученных критических точек:
Первая точка tо =3-√14:
t = -1, V =-1-6+5 = -2,
t = 0, V = 5.
Знак производной меняется с - на + это минимум функции.
Вторая точка tо =3+√14:
t = 2, V = -4+12+5 = 13,
t = 8, V = -64+48+5 = -11.
Знак производной меняется с + на - это максимум функции.