43 баллов за ответ с решениями: 1. Найдите число членов геометрической прогрессии, в...

Question

43 баллов за ответ с решениями:
1. Найдите число членов геометрической прогрессии, в которой первый, второй и последний члены равны соответственно 2, 10 и 1250.
2. Дана геометрическая прогрессия {dn}. Найдите сумму первых пяти ее членов, если d1-d2=20, а d3-d2=60
3. При каком положительном значении а последовательность чисел 3+2a; 7a; 8a+12 образует геометрическую прогрессию?

Answer 1

1. q = b2/b1 = 10/2 = 5
По определению геометрической прогрессии:
bn = b1qⁿ-¹
1250 = 2•5ⁿ-¹
625 = 5ⁿ-¹
5⁴ = 5ⁿ-¹
4 = n - 1
n = 5.

Ответ: 5.

2. d1 - d2= 20
d3 - d2 = 60

d1 - d1q = 20
d1q² - d1q = 60

d1(1 - q) = 20
d1(q² - q) = 60

d1 = 20/(1 - q)
d1 = 60/(q² - q)
20/(1 - q) = 60/(q² - q)
20(q² - q) = 30(1 - q)
q² - q = 3 - 3q
q² + 2q - 3 = 0
q1 + q2 = -2
q1•q2 = -3
q1 = -3
q2 = 1 - не подходит по условию задачи
d1 + 3d1 = 20
4d1 = 20
d1 = 5
S5 = d1(qⁿ - 1)/(q - 1) = 5((-3)^5 - 1)/(-3 - 1) = 5(-243 - 1)/(-4) = 5•244/4 = 305.
Ответ: 305.

3. Используем основное свойство геометрической прогрессии:
bn² = bn-1•bn+1 (член геометрической прогрессии равен среднему геометрическому соседних с ним членов).
(3 + 2a)(8a + 12) = (7a)²
24a + 36 + 16a² + 24a = 49a²
49a² - 16a² - 48a - 36 = 0
33a² - 48a - 36 = 0
11a² - 16a - 12 = 0
D = 256 + 4•12•11 = 784 = 28²
a1 = (16 + 28)/22 = 44/22 = 2
a2 = (16 - 28)/22 < 0 (не уд. условию задачи)
Значит, при а = 2 последовательность чисел образует геометрическую прогрессию.

Ответ: при а = 2.