1095.В равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают. ОВ=R, OE=r, так как высота в правильном (равностороннем) треугольнике является и медианой и биссектрисой.
Центр описанной окружности - пересечение серединных перпендикуляров (высот), а центр вписанной окружности - пересечение биссектрис, а это одни и те же прямые.
Тогда ВЕ=R+(1/2)R=(3/2)R (медиана делится центром в отношении 2:1, считая от вершины).
а). ВЕ=r+2r=3r. По Пифагору АВ²-АЕ²=ВЕ², то есть (3/4)a²=9r².
Отсюда а=(2√3)r, а Р=6√3*r. S=a*BE или
S=(1/2)2√3r*3r=3√3*r².
Ответ: а=(2√3)r, Р=6√3r, S=3√3*r².
б). По Пифагору АВ²-АЕ²=ВЕ², то есть (3/4)a²=(9/4)R².
Отсюда а=R√3, а Р=3√3. S=a*BE или
S=(1/2)R√3*(3/2)R=(3√3/4)*R.
Ответ: а=R√3, Р=3√3*R, S=(3√3/4)*R².
1098. Площадь правильного шестиугольника равна сумме площадей 6 равносторонних (сторона равна радиусу описанной окружности - свойство) треугольников АОВ.
Дано: ОН=1,5:2=0,75см. АО=2*АН (высота равностороннего треугольника - его медиана - свойство).
Пусть АН=х, тогда по Пифагору: 4х²-х²=0,75². Отсюда
х=0,25√3. Тогда Saob=(1/2)*АВ*ОН или 0,25√3*0,75=0,1875√3.
Тогда искомая площадь S=6*0,1875√3=1,125 см².
