В корнях слов, заканчивающихся на букву г, при образовании производных слов может происходить корневое чередование г//ж. Как например, оно отмечено вот в этих словах:
баклага - баклажка
дерюга - дерюжка
пичуга - пичужка
В слове бумажка происходит точно такое же чередование согласных г//ж в корне слова.
При этом за корнем следует суффикс, выраженный глухим согласным звуком "к", который оглушает корневой согласный. Этот процесс назвается ассимилицей (уподоблением) по признаку глухости/звонкости звуков.В слове "бумажка" в силу этого процесса мы слышим в корне слова глухой звук "ш":
бумажка [бумашка]
Чтобы правильно написать слово, подберем родственное слово или изменим форму исходного слова, чтобы после проблемного согласного звука появился гласный звук, который сделает позицию согласного сильной, и он станет слышаться отчетливо и ясно.
Бумажечка, нет бумажек.
Значит, в слове "бумажка" следует писать букву "ж".