Ясно, что шести ручек не хватит, так как могли попасться 3 синие ручки и три красные. Если же взять 7 ручек, то во всех возможных случаях (7 синих, 6 синих и 1 красная, 5 синих и 2 красные, 4 синие и 3 красные, 3 синие и 4 красные, 2 синие и 5 красных, 1 синяя и 6 красных, 7 красных) есть 4 ручки одного цвета.
Конечно, можно вынуть и большее количество ручек, но смысл вопроса скорее всего состоит в том, чтобы вынуть их как можно меньше.
Ответ: 7