Sin²x+sin²4x=sin²2x+sin²3x решите уравнение с подробным решением пожалуйста

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Используя формулу понижения степени (квадрата) для синуса
$sin^2 x=\frac{1-cos(2x)}{2}$
получим
$sin^2 x+sin^2 (4x)=sin^2 (2x)+sin^2 (3x)$
$\frac{1-cos(2*x)}{2}+\frac{1-cos(2*4x)}{2}=\frac{1-cos(2*2x)}{2}+\frac{1-cos(2*3x)}{2}$
или после упрощения
$cos(2x)+cos(8x)=cos(4x)+cos(6x)$
далее используем формулу суммы косинусов
$cos A+cos B=2cos\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}$
при єтом помним что косинус четная функция $cos G=cos (-G)$
получим
$2cos\frac{2x+8x}{2}cos\frac{8x-2x}{2}=2cos\frac{4x+6x}{2}cos \frac{6x-4x}{2}$
или после упрощения
$cos (5x)cos (3x)=cos (5x)cos (x)$
$cos (5x)*(cos(3x)-cos (x))=0$
откуда либо
1) $cos(5x)=0$
$5x=\frac{\pi}{2}+\pi*l$
$x=\frac{\pi}{10}+\frac{pi*l}{5}$
l є Z

либо
2) $cos(3x)-cos(x)=0$
используем формулу разности косинусов
$cos A-cos B=-2sin \frac{A+B}{2}sin \frac{A-B}{2}$
получим
$-2sin \frac{3x+x}{2}sin \frac{3x-x}{2}=0$
или после упрощения
$sin(2x)sin (x)=0$
откуда либо
2A) $sin (2x)=0$
$2x=\pi*k$
$x=\frac{pi*k}{2}$
k є Z
либо
2Б) $sin (x)=0$
$x=\pi*n$
n є Z
корни 2Б входят в множество 2А, поєтому
ответ: $x=\frac{\pi}{10}+\frac{pi*l}{5}$
l є Z;

$x=\frac{pi*k}{2}$
k є Z

dtnth_zn (408k баллов) 10 Май, 18