БАЮШКИ - образовалось же
это междометие от глагола БАЯТЬ, которое означает говорить,
рассказывать сказки.
Точнее, от основы
первого лица числа единственного от упомянутого глагола -- баю.
Последняя буква ю представляет собой два звука: й+у. При произношении сочетания баю-баю во втором баю безударная у отпала и осталась только й.
Так удобнее произносить, в этом причина отпадения одного звука.
Вот и осталось сочетание баю-бай,
а от него, как сказано выше, и другие ласкательные слова с этим корнем --
баиньки, баюшки, а также разные
сочетания этих слов: бай-бай-бай; баю-баюшки-баю; баю-баюшки.