Решите мне или каким методом решать

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Первый способ.

$\displaystyle (x-3) \sqrt[3]{ \frac{x-3}{x+4} } -(x+4) \sqrt[3]{ \frac{x+4}{x-3} }=7$

Разделим обе части уравнения на $(x+4)$ , получаем

$\displaystyle \frac{x-3}{x+4} \cdot \sqrt[3]{ \frac{x-3}{x+4} } - \sqrt[3]{ \frac{x+4}{x-3} } = \frac{7}{x+4}$

Пусть $\displaystyle \sqrt[3]{ \frac{x+4}{x-3} } =t;\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \frac{x+4}{x-3} =t^3\,\,\,\, \Rightarrow\,\, -\frac{t^3x-3t^3-x-4}{x-3} =0$
, тогда получаем:

$\displaystyle t^{-4}-t= \frac{7}{x+4} ;\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\, \frac{t^5x+4t^5+7t^4-x-4}{t^4(x+4)} =0$

Запишем эти уравнения в виде системы:

$\displaystyle \begin{cases} & \text{ } - \dfrac{t^3x-3t^3-x-4}{x-3}=0 \\ & \text{ } \dfrac{t^5x+4t^5+7t^4-x-4}{t^4(x+4)} =0 \end{cases}$
Дробь обращается в нуль, если числитель дроби равен нулю.

$\begin{cases} & \text{ } t^3x-3t^3-x-4=0 \\ & \text{ } t^5x+4t^5+7t^4-x-4=0 \end{cases}$
Очевидно, что следующая система будет эквивалента предыдущей системе:

$\begin{cases} & \text{ } t^3x-3t^3-x-4=0 \\ & \text{ } t^3x-3t^3-x-4=t^5x+4t^5+7t^4-x-4 \end{cases}\\ \\ \begin{cases} & \text{ } t^3x-3t^3-x-4=0 \\ & \text{ } t^3x-3t^3-t^5x-4t^5-7t^4=0 \end{cases}\\ \\ \begin{cases} & \text{ } t^3x-3t^3-x-4=0 \\ & \text{ } t^3(x-3-t^2x-4t^2-7t)=0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(\star) \end{cases}$

Уравнение $(\star)$ разбивается на 2 уравнения.
$t^3=0\\ t=0$
Подставим эту переменную и найдем $x$
$0^3\cdot x-3\cdot 0^3-x-4=0\\ -x-4=0$
$x=-4$ - лишний корень, так как дробь обращается в нуль.

$x-3-t^2x-4t^2-7t=0\\ \\ x-t^2x\underbrace{-3-4t^2-7t}_{-(t+1)(4t+3)}=0\\ \\ (t+1)(1-t)x+(t+1)(-4t-3)=0\\(t+1)(-tx-4t+x-3)=0\\ t+1=0\\ t=-1$
Подставим и найдем переменную $x$
$(-1)^3\cdot x-3\cdot(-1)-x-4=0\\ -x+3-x-4=0\\ -2x=1\\ x=- \dfrac{1}{2}$

$\begin{cases} & \text{ } t^3x-3t^3-x-4=0 \\ & \text{ } -tx-4t+x-3=0 \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} & \text{ } t^3x-3t^3-x-4=-tx-4t+x-3 \\ & \text{ } -tx-4t+x-3=0 \end{cases}$
$\begin{cases} & \text{ } t^3x-3t^3-7-tx-4t=0 \\ & \text{ } -tx-4t+x-3=0 \end{cases}$
Выпишем первое уравнение и разложим на множители:
$t^3x-3t^3-7-tx-7t=0\\ t^3x-tx\underbrace{-3t^3-4t-7}_{(t+1)(-3t^2+3t-7)}=0\\ \\ (t+1)(t^2-t)x+(t+1)(-3t^2+3t-7)=0\\ (t+1)(t^2x-3t^2-tx+3t-7)=0\\ t+1=0\\ t=-1$
При $t=-1$ корень же будет $x=-0.5$

$\begin{cases} & \text{ } t^2x-3t^2-tx+3t-7=0 \\ & \text{ } -tx-4t+x-3=0 \end{cases}$
Подставим
$\begin{cases} & \text{ } t^2x-3t^2-tx+3t-7=-tx-4t+x-3=0 \\ & \text{ } -tx-4t+x-3=0 \end{cases}\\ \\ \begin{cases} & \text{ } t^2x-3t^2+7t-x-4=0 \\ & \text{ } -tx-4t+x-3=0 \end{cases}$
Снова выпишем первое уравнение и разложим на множители:
$t^2x-3t^2+7t-x-4=0\\ t^2x-x\underbrace{-3t^2+3t-4}_{(t-1)(4-3t)}=0\\ \ (t-1)(t+1)x+(t-1)(4-3t)=0\\ (t-1)(tx-3t+x+4)=0\\ t=1$

Подставим $t=1$
$1^3\cdoy x-3\cdot 1^3-x-4=0\\ -7=0$
Уравнение решений не имеет

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cbegin%7Bcases%7D+%26+%5Ctext%7B+%7D+tx-3t%2Bx%2B4%3D0+%5C%5C+%26+%5Ctext%7B+%7D+-tx-4t%2Bx-3%3D0+%5Cend%7Bcases%7

аноним 10 Май, 18