Помогите решить задания с 3-6

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

3) Воспользуемся формулой: $\cos \alpha +\cos \beta = \dfrac{\cos( \alpha + \beta )+\cos( \alpha - \beta )}{2}$
$\cos(3x+4x)+\cos(3x-4x)-\cos 7x=\cos 7x+\cos x-\cos7x=\cos x$
Упростим значение выражения:
$\cos \frac{x}{2} = \sqrt{0.8}$
Возведем обе части в квадрат, получим:
$\cos^2 \frac{x}{2} =0.8$
По формуле понижения степеней:
$\dfrac{1+\cos x}{2} =0.8\\ 1+\cos x=1.6\\ \cos x=0.6$

Ответ: $0.6$

4) $\cos ( \frac{ \pi }{2} +x)=-\sin x$ отсюда $\sin x=- \dfrac{12}{13}$
В 3 четверти косинус отрицателен, значит:
$\cos x= -\sqrt{1-\sin^2x} =- \dfrac{5}{13}$

По условию найдем значение выражения:
$tg 2x= \dfrac{\sin2x}{\cos2x}= \dfrac{2\sin x\cos x}{\cos^2x-\sin^2x} = \dfrac{2\cdot \frac{5\cdot 12}{169} }{ \frac{25}{169} - \frac{144}{169} } = \dfrac{2\cdot5\cdot12}{(5-12)(5+12)} = -\dfrac{120}{119}$

5) $\cos3x-\cos 9x+ \sqrt{3} \sin2x=0$
Воспользуемся формулой: $\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \frac{ \alpha + \beta }{2} \sin\frac{ \alpha - \beta }{2}$

$-2\sin\frac{5x+9x }{2} \sin\frac{ 5x-9x }{2} + \sqrt{3} \sin 2x=0\\ 2\sin 7x\sin 2x+\sqrt{3} \sin 2x=0\\ \sin2x(2\sin 7x+\sqrt{3} )=0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю

$\sin2x=0\\ 2x=\pi k,k \in \mathbb{Z}\\ x= \dfrac{\pi k}{2} ,k \in \mathbb{Z}$

$\sin 7x=- \dfrac{ \sqrt{3} }{2} \\ \\ x=(-1)^{k+1}\cdot \dfrac{\pi}{21} + \dfrac{\pi n}{7} ,n \in \mathbb{Z}$

Отбор корней:
$k=0;\,\,\, x=0\\n=1;\,\,\, x= \dfrac{\pi}{21} + \dfrac{\pi}{7} = \dfrac{4\pi}{21} \\ \\ n=2;\,\,\, x=- \dfrac{\pi}{21} + \dfrac{2\pi}{7} = \dfrac{5\pi}{21}$

5) $\sqrt{3} \sin 3x+\cos 3x=1$
Формула: $a\sin x\pm b\cos x = \sqrt{a^2+b^2} \sin (x\pm \arcsin \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} )$
В нашем случае:
$\sqrt{3+1} \sin (3x+\arcsin \frac{1}{ \sqrt{3+1} } )=1\\ 2\sin(3x+ \frac{\pi}{6})=1 \\ \\ 3x+ \frac{\pi}{6}=(-1)^k\cdot \frac{\pi}{6}+\pi k,k \in \mathbb{Z}\\ \\ 3x=(-1)^k\cdot \frac{\pi}{6}- \frac{\pi}{6}+\pi k,k \in \mathbb{Z}\, |:3\\ \\ x=(-1)^k\cdot \frac{\pi}{18}- \frac{\pi}{18}+ \frac{\pi k}{3},k \in \mathbb{Z}$

$2+\cos x=2tg \frac{x}{2} \\ \\ 2+\cos x= 2\cdot\frac{1-\cos x}{\sin x} |\cdot \sin x\\ \\ 2\sin x+\sin x\cos x=2-2\cos x\\ 2(\sin x+\cos x)+\sin x\cos x-2=0$
Представим число $2=2(\sin^2 x+\cos^2 x)$
$2(\sin x+\cos x)+\sin x\cos x-2(\sin^2 x+\cos^2 x)=0$
Добавим и вычтем слагаемые $\sin 2x:$
$2(\sin x+\cos x)+\sin x\cos x-2(\sin^2x+\sin2x+\cos^2x-\sin 2x)=0\\ 2(\sin x+\cos x)+\sin x\cos x-2(\sin x+\cos x)^2+2\sin2x=0\\ 2(\sin x+\cos x)^2-5\sin x\cos x-2(\sin x+\cos x)=0$
Пусть $\sin x+\cos x=t\,\,\,\, (\star)$ , причем $|t| \leq \sqrt{2}$
Возведем обе части в квадрат: $1+2\sin x\cos x=t^2$ , отсюда $\sin x\cos x= \frac{t^2-1}{2}$

Заменяем:

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=2t%5E2-5%5Ccdot+%5Cdfrac%7Bt%5E2-1%7D%7B2%7D+-2t%3D0%7C%5Ccdot+2%5C%5C+%5C%5C+4t%5E2-5%28t%5E2-1%29-4t%3D0%5C%5C+4t%5E2-5t%5E

аноним 10 Май, 18