Решить логарифмическое неравенство

Question 1

Question 2

Log2(4^x - 6) должно быть больше 0, т.е. 4^x > 7, x > log4(7) > 1. При таких x $f(t)=\log_x t$ существует и является возрастающей функцией. Тогда исходное неравенство равносильно такому:
$\log_2(4^x-6)\leqslant x\\ \log_2(4^x-6)\leqslant\log_22^x\\ 4^x-6\leqslant 2^x\\ (2^x)^2-2^x-6\leqslant 0$

Получилось квадратичное неравенство относительно 2^x. Его решение -2 <= 2^x <= 3 x <= log2(3) 
В итоге надо решить систему
x <= log2(3) x > log4(7)

log2(3) = log4(9) > log4(7), поэтому ответ будет таким:

$\boxed{x\in(\log_47,\log_23]}$

nelle987_zn · Answer 1 · 2018-05-10T15:06:48+0000

Log2(4^x - 6) должно быть больше 0, т.е. 4^x > 7, x > log4(7) > 1. При таких x $f(t)=\log_x t$ существует и является возрастающей функцией. Тогда исходное неравенство равносильно такому:
$\log_2(4^x-6)\leqslant x\\ \log_2(4^x-6)\leqslant\log_22^x\\ 4^x-6\leqslant 2^x\\ (2^x)^2-2^x-6\leqslant 0$

Получилось квадратичное неравенство относительно 2^x. Его решение -2 <= 2^x <= 3 x <= log2(3) 
В итоге надо решить систему
x <= log2(3) x > log4(7)

log2(3) = log4(9) > log4(7), поэтому ответ будет таким:

$\boxed{x\in(\log_47,\log_23]}$