Докажите, что сумма 2 положительных взаимно обратных чисел не меньше 2

Question 1

Question 2

Пусть данное число = а и a>0, тогда обратное число = 1/а.
Известно неравенство о средних: среднее арифметическое чисел не меньше их среднего геометрического, то есть

$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$

Так как это неравенство верно для любых положительных чисел, запишем его для а и для $b=\frac{1}{a}$ .

$\frac{a+\frac{1}{a}}{2} \geq \sqrt{a\cdot \frac{1}{a}} \\\\ \frac{a+ \frac{1}{a} }{2} \geq \sqrt{1} \\\\ \underline {a+\frac{1}{a} \geq 2}$

Равенство достигается при $a=\frac{1}{a}$ .

NNNLLL54_zn · Answer 1 · 2018-05-10T15:08:16+0000

Пусть данное число = а и a>0, тогда обратное число = 1/а.
Известно неравенство о средних: среднее арифметическое чисел не меньше их среднего геометрического, то есть

$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$

Так как это неравенство верно для любых положительных чисел, запишем его для а и для $b=\frac{1}{a}$ .

$\frac{a+\frac{1}{a}}{2} \geq \sqrt{a\cdot \frac{1}{a}} \\\\ \frac{a+ \frac{1}{a} }{2} \geq \sqrt{1} \\\\ \underline {a+\frac{1}{a} \geq 2}$

Равенство достигается при $a=\frac{1}{a}$ .