Докажите, что при любом натуральном n: 1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=(n(n+1)(2n+1))/(3)

0 голосов
29 просмотров

Докажите, что при любом натуральном n:
1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=(n(n+1)(2n+1))/(3)

Алгебра (187 баллов) | 29 просмотров
0

Точно справа должно быть (2n + 1), а не (n + 2)?

оставил комментарий (145k баллов)
0

Да, точно

оставил комментарий (187 баллов)
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ
1*2 + 2*3 + 3*4 +...+ n(n + 1) = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{3}
Докажем методом математической индукции:
 1) Шаг индукции: проверим, достигается ли равенство при n = 1.
1(1 + 1) = \frac{1(1 + 1)(1 + 2)}{3}
2 = \frac{6}{3}
2 = 2

2) Пусть при n = k равенство выполняется:
1*2 + 2*3 + 3*4 +...+ k(k + 1) = \frac{k(k + 1)(k + 2)}{3} (1)

3) Шаг индукции: докажем, что при n = k + 1 равенство также верно:
1*2 + 2*3 + 3*4 +...+(k + 1)(k + 2) + (k+1)(k + 2) = \frac{(k + 1)(k + 2)(k + 3)}{3}

1*2 + 2*3 + 3*4 +...+(k + 1)(k + 2) = \frac{(k + 1)(k + 2)(k + 3)}{3} - (k+1)(k +2)

1*2 + 2*3 + 3*4 +...+(k + 1)(k + 2) =\frac{(k + 1)(k + 2)(k + 3)}{3} - \frac{3(k+1)(k +2)}{3}

1*2 + 2*3 + 3*4 +...+(k + 1)(k + 2) = \frac{(k + 1)(k + 2)(k + 3) - 3(k+1)(k +2)}{3}

1*2 + 2*3 + 3*4 +...+(k + 1)(k + 2) = = \frac{(k + 1)(k + 2)(k + 3 - 3)}{3}

1*2 + 2*3 + 3*4 +...+(k + 1)(k + 2) = \frac{k(k + 1)(k + 2)}{3}

Мы пришли к равенству (1), которое предполагало, что при любом n = k, n ∈ N равенство верно. Значит, оно верно для любого n, n ∈ N.
(145k баллов)
Похожие задачи