Решите систему уравнений пожалуйста

0 голосов
49 просмотров
\left \{ {{( x^{2}+y{2}-xy)(x-y)=1+ y^{3} } \atop {( x^{2}+y{2}+xy)(x+y)=1- y^{3} }} \right.
Решите систему уравнений пожалуйста

Алгебра (458 баллов) | 49 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ
\begin{cases}
 & \text{ } (x^2+y^2-xy)(x-y)=1+y^3 \\ 
 & \text{ } (x^2+y^2+xy)(x+y)=1-y^3 
\end{cases}
Раскроем скобки в левой части уравнения:
\begin{cases}
 & \text{ } x^3-2x^2y+2xy^2-y^3-y^3-1=0\\ 
 & \text{ } x^3+2x^2y+2xy^2+y^3+y^3-1=0
\end{cases}\Rightarrow\\ \Rightarrow\begin{cases}
 & \text{ } x^3-2x^2y+2xy^2-2y^3-1=0 \\ 
 & \text{ } x^3+2x^2y+2xy^2+2y^3-1=0
\end{cases}
Тогда следующая система эквивалентна предыдущей системе:
\begin{cases}
 & \text{ } x^3-2x^2y+2xy^2-2y^3-1=x^3+2x^2y+2xy^2+2y^3-1 \\ 
 & \text{ } x^3+2x^2y+2xy^2+2y^3-1=0 
\end{cases}\\ \\ \begin{cases}
 & \text{ } -4x^2y-4y^3=0 \\ 
 & \text{ } x^3+2x^2y+2xy^2+2y^3-1=0 
\end{cases}\begin{cases}
 & \text{ } -4y(x^2+y^2)=0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(\star)\\ 
 & \text{ } x^3+2x^2y+2xy^2+2y^3-1=0\end{cases}
Уравнение (\star) разбивается на 2 уравнения:
1)\,\, y=0\\ 2)\, x^2+y^2=0\,\,\,\,\,\Rightarrow (0;0).
Корни уравнения x^2+y^2=0 не подходят данной системе(можете проверить, подставив x=y=0).

Найдем переменную x,, если значение y=0:
x^3+2x^2\cdot 0+2x\cdot 0^2+2\cdot 0^3-1=0\\ x^3-1=0\\ x=1


Ответ: (1;0).