1) Выясняем, какое, собственно, расстояние нам нужно искать
Нам нужно найти расстояние между прямыми AB1AB1 и BC1BC1.Строим через прямые AB1AB1 и BC1BC1 две параллельные плоскости AB1D1AB1D1 и BDC1BDC1.Строим прямую O1EO1E, перпендикулярную одновременно обеим плоскостям AB1D1AB1D1 и BDC1BDC1.Для дальнейшего удобства, строим прямые O1C1, OO1, OC1O1C1, OO1, OC1Расстоянием между прямыми AB1AB1 и BC1BC1 будет расстояние O1EO1E.
2) Находим расстояние O1EO1E:По свойствам кубаBD=BC1=DC1=2–√, O1C1=2–√2, OC1=6–√2, OO1=1BD=BC1=DC1=2, O1C1=22, OC1=62, OO1=1∠O1EC1=90∘∠O1EC1=90∘ — по построению∠OO1C1=90∘∠OO1C1=90∘ — потому что прямая OO1OO1 перпендикулярна плоскости A1B1C1A1B1C1Из прямоугольного треугольника OO1C1OO1C1sinO1C1O=OO1OC1sinO1C1O=OO1OC1Из прямоугольного треугольника EO1C1EO1C1sinO1C1O=O1EO1C1sinO1C1O=O1EO1C1Приравниваем правые части уравнений друг другуOO1OC1=O1EO1C1OO1OC1=O1EO1C1ВыражаемO1EO1EO1E=O1C1⋅OO1OC1=2–√2⋅13√2√=13–√
Ответ: 13√13.