Свойства функции у=х2-2х-3

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Это квадратичная функция так как имеет вид $y=ax^2+bx+c$ , следовательно ее график - парабола. Коэффициент a - положителен, следовательно ветви параболы обращены вверх ("Восхвалим солнце!" , мини шутка) и вершина является минимумом функции.
Следовательно:
$D(y)=(-\infty,+\infty)$ - функция определена на всей вещественной оси икс.

Найдем вершину:
$x=- \frac{b}{2a} =1$
$y=1^2-2*1-3=1-2-3=-4$

Т.е. вершина имеет координаты:
$(1;-4)$ - минимум.

А значит, область значений:

$E(y) = [-4,+\infty)$

Найдем нули функции:

$x^2-2x-3 =0 \\ \sqrt{D} = \sqrt{4+12}=4\\x_{1,2}= \frac{2\pm 4}{2}=3,-1$

Промежутки знакопостоянства:

Зная нули функции, отметим данные значения на координатной прямой. Имеем 3 интервала, с их знаками:
$(-\infty,-1] =+$
$[-1,3]=-$
$[3,+\infty)=+$

Следовательно:
$f(x) \geq 0 \rightarrow (-\infty,-1]\cup [3,+\infty)$

$f(x)\ \textless \ 0 \rightarrow [-1,3]$

Так как минимумом является вершина , то имеем следующие промежутки монотонности:
$(-\infty,1]$ функция монотонно убывает.
$[1,+\infty)$ функция монотонно возрастает.

Newtion_zn (46.3k баллов) 13 Март, 18