Решите уравнение: sin^2017 (5х) + cos^2017 (5х) = 1

Question 1

Решите уравнение:
sin^2017 (5х) + cos^2017 (5х) = 1

Question 2

Указание:
Рассмотреть в общем виде функцию
$y= sin^{n} (x)+ cos^{n}(x)$
где n-нечетное (любое, даже 2017)
Исследовать на экстремум.
Показать, что есть только два максимума (x=0+2пk и x=п/2+2пк), и в них эта исследуемая функция равна 1 (у=1)

ответ 1:
$5x=0+2 \pi k; x= \frac{2}{5} \pi k$

ответ 2:
$5x= \frac{ \pi }{2} +2 \pi k; x= \frac{ \pi }{10} + \frac{2}{5} \pi k$

Иллюстрация к задаче.

Question 3

Исследование на экстремум делается элементарно для этих тригонометрических функций с помощью производной, приравняв ее 0. Простейшая задачка.

Question 4

но у Вас sin 5x и cos 5x Где ответ?

Question 5

Если логически, то сумма 1 дает как 0+1 и 1 + 0, то есть решение заданного уравнения будет иметь таким образом:
$\begin{cases} & \text{ } \sin5x=1 \\ & \text{ } \cos 5x=0 \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} & \text{ } 5x= \frac{\pi}{2}+2\pi k,k \in \mathbb{Z} \\ & \text{ } 5x= \frac{\pi}{2}+\pi k,k \in \mathbb{Z} \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} & \text{ } x= \frac{ \pi }{10}+ \frac{2 \pi k}{5} ,k \in \mathbb{Z} \\ & \text{ } x= \frac{ \pi }{10} + \frac{ \pi k}{5} , k \in \mathbb{Z} \end{cases}$

Объединение решений: $x= \dfrac{\pi}{10} + \dfrac{2\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$

и

$\begin{cases} & \text{ } \sin5x=0 \\ & \text{ } \cos5x=1 \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} & \text{ } 5x=2\pi n,n \in \mathbb{Z} \\ & \text{ } 5x=\pi n,n \in \mathbb{Z} \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} & \text{ } x= \dfrac{2 \pi n}{5},n \in \mathbb{Z} \\ & \text{ } x=\dfrac{ \pi n}{5},n \in \mathbb{Z} \end{cases}$

Объединение решений: $x=\dfrac{2 \pi n}{5},n \in \mathbb{Z}$

Question 6

Решение исправил

Question 7

Решение посмотрите исправленое)

Question 8

Но еще надо доказать, что других решений нет.

Question 9

Логически в 2017 степени и так ясно что нет

Question 10

Ответ неправильный.