Словом "рус" в византийских и других источниках (9-11 века) называли
северных германцев (викингов, варягов, норманов) , которые приплывали в
Вмзантию через восточнославянские земли.
Теорий о происхождении (этимологии) этого слова очень много - начиная от названий разных рек (например, река Рос в нынешней Украине или остров Русне в дельте Нямунаса - там еще в 8 веке был опорный пункт викингов - на балтских языках (и на литовском) слово "русянти" означает "медленно течь" или "медленно тлеть-гореть") и кончая русыми (рыжими) волосами варягов (мне лично эта гипотеза кажется наиболее достоверной - но это должны досконально исследовать специалисты славянских языков - было ли такое слово в 8-9 веках у восточных славян или появилось позже от названия варягов - то есть "обратное" происхождение) .
Ясно одно - точное происхождение слова "рус" пока что не известно.
Позже этим словом начали называть все владения варягов в восточнославянских землях - отсюда появилось название Русь (как сейчас обычно пишут - Киевская Русь) , а примерно в 16-17 веках слово "Россия", применительно к Московскому княжеству (царству) , еще позже- при Петре I - стало официальным названием Московского царства (империи) .
В первых письменных источниках было не Русь, а Рус.
Попробую изучить возможную этимологию слова (корня) "рус" при помощи литовского языка, так как в нем сохранилось много древнеиндоевропейских корней слов (или они мало изменились) .
На литовском языке слово "рус-янти" означает "медленно течь" или (чаще) "медленно тлеть-гореть". В литовском есть и слово "рус-вас" ("rusvas") (другой вариант слова - "раус-вас" ("rausvas")), которое можно перевести как "красноватый" или "бледно красный".
Думаю, из этого индоевропейского корня рус- (в других индоевропейских языках рос-) происходит и название цвета волос в русском языке - "русые" - ("горящие, красные"), и название цветов в разных языках - "рос" ("роза").
Финское "ruotsi" могло появиться, например, из слова близкого к литовскому слову "рудас" ("rudas"), то есть "рыжий", так как в финском нет буквы д - она заменяется на т.
Литовское слово "руд-ас" ("rudas") близко родственно германскому (английскому) "ред" ("red") - "красный". В литовском оно трансформировалось в слова "рауд-ас" ("raudas") или "рауд-онас" ("raudonas"), то есть "красный".