Площадь равнобедренной трапеции равна 2. Найдите наименьшее значение длины диагонали...

Пусть АВСD - равнобочная трапеция, AB=CD, BC||AD, BC
Проведем высоты BK, CH.
Тогда
$S=BK*\frac{BC+AD}{2}=BK*\frac{KH+KH+2AK}{2}=BK*(KH+AK)=BK*AH=AH*CH$

По теореме Пифагора диагональ трапеции $AC=\sqrt{AH^2+CH^2}$

Пусть $CH=x$ , тогда $AH=\frac{2}{x}$

Рассмотрим функцию $f(x)=\sqrt{x^2+(\frac{2}{x})^2}$ , x>0
$f(x)=\sqrt{x^2+\frac{4}{x^2}}$
$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^2+\frac{4}{x^2}}}*(2x-8x^{-3})$
ищем критические точки
$f'(x)=0$
$2x-\frac{8}{x^3}=0$
0; x=\sqrt{2}" alt="x^4=4; x^2=2; x>0; x=\sqrt{2}" align="absmiddle" class="latex-formula">
при х є $(0;\sqrt{2}): f'(x)<0$
при х є 0" alt="(\sqrt{2};+\infty): f'(x)>0" align="absmiddle" class="latex-formula">
$x=\sqrt{2}$ - точка минимума

значит наименьшее значение длины диагонали трапеции равно
$d_{min}=\sqrt{2+\frac{2}{2}}=\sqrt{3}$