Для начала поясню, что такое сложная функция. Есть понятие "просто функция" и есть понятие "сложная функция". Чем они отличаются и как понять, что перед нами именно сложная функция?
Ну сначала смотрим на выражение.У нас что есть? Сумма. А производная суммы равна сумме производных. Всё элементарно. Значит, нам нужно взять производную от каждого слагаемого. Рассмотрим первое из них.
Это tg2x. Как найти производную от неё? Обычно мы привыкли к тому, что под тангенсом у нас просто x болтается. В данном случае это не так, у нас там 2x. Вот это и есть простейший пример сложной функции. Всегда, когда видим функцию, пытаемся мысленно представить её простой. Что значит простой? Ну, наверное, простое - это то, что нельзя сделать ещё более простым(извините за несколько кривоватое высказывание). Можно ли сделать простым функцию tg x? Вряд ли. Тангенс он и есть тангенс. А можно ли сделать более простым функцию tg 2x? Конечно. Проще только tg x. Можно мысленно упростить функцию? Да. Значит, она точно не является простой, а потому она сложная. Итак, перед нами сложная функция. Находить от неё производную надо по специальному правилу.
Производная сложной функции равна произведению производной внутренней функции на производную внешней функции. Звучит сложно, но на практике всё просто.
Чтобы понять, где тут внутренняя, а где внешняя функция, надо проделать следующее действие(мысленно). Вычислим значение функции в точке 1.Что мы сначала вычисляем? 2x. А потом? А потом берём тангенс. То есть, то, что сначала вычисляем, то и есть самое внутреннее. Здесь внутренней является функция 2x, а внешней то, что в конце вычисляем - то есть, tg 2x.
Используем правило, находим производную от внутренней функции, находим производную от внешней функции, а потом их перемножаем. Только и всего.
Замечу, что при вычислении последней производной мы вычисляем как бы производную от тангенса, просто x в табличном значении заменили на 2x.
Мы вычислили производную от первого слагаемого. Теперь вычислим от второго.
Является ли второе слагаемое сложной функцией? Проверим. Можно ли упростить мысленно его? Да, пожалуйста. Как упрощаем? Степень нас смущает. Потому откидываем её. Получаем tg 2x(2/3 перед тангенсом вообще не влияет на сложность функции, это просто константа). Получаем tg 2x. А можно ли ещё упростить? Проще только tg x. Итак, я функцию даже два раза смог свернуть. Так что, она не простая, а значит, сложная.
Где здесь внутренняя функция, а где внешняя? Представляем, что нам нужно вычислить это выражение от 1. Что мы сначала вычисляем? 2x, конечно же. Так что, 2x - самая внутренняя функция. Дальше мы что считаем? Тангенс от всего этого. tg 2x - Это более внешняя функция. А в конце что? Возводим в куб. Так что, кубическая функция tg^3 2x - самая внешняя(обязательно оставляем при усложнении функций свои аргументы, то есть, вторая функция выглядит как tg 2x, а не tg x, а последняя, именно, как куб тангенса двух икс! С этими аргументами они пойдут в табличную производную). Далее вычисляем произведение производных этих функций.
Не забывая, что 2/3 мы вынесли за знак производной:
Аналогично поступаем с последним слагаемым:
А производная исходной функции равна сумме производных. Так что просто складываем полученные результаты:
Это и есть искомая производная.