Y''+2y'+y=x^2e^-x решите пожалуйста

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Запишем по определению дифференциала:
$\dfrac{d^2y}{dx^2} +2\cdot \dfrac{dy}{dx} +y=x^2e^{-x}$
Данное дифференциальное уравнение будет иметь собой сумму дополнительного и конкретного решения. Найдём дополнительное решение:
$\dfrac{d^2y}{dx} +2\cdot \dfrac{dy}{dx} +y=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(\star)$
Пусть $e^{ \beta x}=y$ , где $\beta$ - константа.Получаем:
$\dfrac{d(e^{ \beta x})}{dx^2}+2\cdot\dfrac{d(e^{ \beta x})}{dx}+e^{ \beta x}=0\\ \\ \beta ^2e^{ \beta x}+2 \beta e^{ \beta x}+e^{ \beta x}=0\\e^{ \beta x}( \beta ^2+2 \beta +1)=0$
Произведение равно нулю, значит:
$e^{ \beta x}=0$ - уравнение решений не имеет.
$\beta ^2+2 \beta +1=0\\ ( \beta +1)^2=0\\ \beta_{1,2} =-1$
Возвращаемся к замене:
$y_1=c_1e^{-x}\\ y_2=c_2e^{-x}$

Тогда общее решение уравнения $(\star)$ :
$y=y_1+y_2=c_1e^{-x}+c_2e^{-x}$

Теперь требуется решить уравнение
$\dfrac{d^2y}{dx^2} +2\cdot \dfrac{dy}{dx} +y=x^2e^{-x}$
Конкретное решение этого уравнения:
$y_k=x^2( \alpha _1e^{-x}+ \alpha _2e^{-x}+a_3x^2e^{-x})$
Дифференцируем по $x$ , то есть будем иметь:
$\dfrac{dy_k}{dx} = \dfrac{d}{dx} (x^2( \alpha _1e^{-x}+ \alpha _2e^{-x}+a_3x^2e^{-x}))= \\ \\ =- \alpha _1x^2e^{-x}+2 \alpha _1xe^{-x}- \alpha _2x^3e^{-x}+3 \alpha _2x^2e^{-x}- \alpha _3x^4e^{-x}+4 \alpha _3x^3e^{-x}$

Дифференцируем снова по $x:$
$\dfrac{d^2y_k}{dx^2} = \alpha _1(2e^{-x}+x^2e^{-x}-4xe^{-x})+ \alpha _2(x^3e^{-x}-6x^2e^{-x}+6xe^{-x})+\\\\ + \alpha _3(x^4e^{-x}-8x^3e^{-x}+12x^2e^{-x})$

Подставим частное решение в данное дифференциальное уравнение:
$\dfrac{d^2y_k}{dx_2} +2\cdot \dfrac{dy_k}{dx} +y_k=e^{-x}x^2$
После упрощений с подобными слагаемыми в левой части уравнения, мы придём к такому уравнению:
$2 \alpha _1e^{-x}+6 \alpha _2xe^{-x}+12 \alpha _3x^2e^{-x}=x^2e^{-x}\\ \\ \begin{cases} & \text{ } 2 \alpha _1=0 \\ & \text{ } 6 \alpha _2=0 \\ & \text{ } 12 \alpha _3=1 \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} & \text{ } \alpha _1= 0\\ & \text{ } \alpha_2=0 \\ & \text{ } \alpha _3= \dfrac{1}{12} \end{cases}$
$y_k= \frac{1}{12}x^4e^{-x}$ - конкретное решение.

Общее решение дифференциального уравнения:
$y= \dfrac{1}{12} e^{-x}(x^4+c_1+xc_2)$

аноним 11 Май, 18