Это утверждение неверно так как, например, не выполняется при n = 1.
Верно будет такое утверждение: при любом целом n значение выражения
(2n+1)² - 1 кратно 8.
Доказательство:
(2n + 1)^2 - 1 = 4n^2 + 4n + 1 - 1 = 4n(n + 1)
n, n + 1 - два последовательных числа, одно из них обязательно будет чётным. Значит, n (n + 1) при любых целых n делится на 2, а 4n(n + 1) - на 8.