Исследуйте на возрастание(убывание) и экстремумы функцию

$y=x^3lnx$ ОДЗ: $x\in (0;+\infty)$
$y'=(x^3)'*lnx+x^3* \frac{1}{x} =3x^2lnx+x^2=x^2(3lnx+1)$
Найдем экстремумы функции, приравняем производную к нулю:
$x^2(3lnx+1)=0 \\ x^2=0~~~~~~~~~~~~3lnx=-1 \\ x=0~~~~~~~~~~~~~~lnx=- \frac{1}{3} \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x=e^{- \frac{1}{3} }$
e^(-1/3)≈0,7

$-$ $+$
- $0$ ---------------- $e^{- \frac{1}{3} }$ -------------> x

$x=e^{- \frac{1}{3} }$ - экстремум, точка минимума.

Ответ: $y$ ↑ при $x\in (0;e^{- \frac{1}{3} })$
$y$ ↓ при $x\in (e^{- \frac{1}{3} };~+\infty)$

Исследуйте ** возрастание(убывание) и экстремумы функцию