Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел, которые НЕЛЬЗЯ представить в...

Question

Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел, которые НЕЛЬЗЯ представить в виде суммы квадратов трех целых чисел.
Например, 7 нельзя представить в таком виде, а, 1 - можно: 1=1^2+0^2+0^2

Answer 1

Это числа вида: 8k + 7

a² при делении на 8 дает остатки: 0, 1, 4

a² + b² тогда может давать остатки: 0, 1, 2(1+1), 4, 5(1+4)

a² + b² + c² может давать остатки: 0, 1, 2, 3(2+1), 4, 5, 6(1+5), но не может дать остаток 7 (нет такой комбинации из трех чисел 0 1 4 по три числа, чтобы в сумме давало 7)

значит, числа вида:8k + 7 нельзя разложить в разность трех квадратов