ЕГЭ математика (профиль), задание 13

Question

ЕГЭ математика (профиль), задание 13

---

Answer 1

2cos²(π/2 +x) =√2sinx  , x ∈ [ -5π ; -7π/2].
--------------
2cos²(π/2 +x) =√2sinx ⇔2 *(-sinx)²  =√2sinx ⇔2sin²x = √2sinx ⇔
2sinx(sinx -1 / √2) = 0  ⇔ [ sinx = 0 ; sinx =1/√2 .⇒
[ x =πn ; x =π/4 + 2πn ; x =3π/4 +2πn , n∈Z.
---------------
x =πn  ⇒   x= - 5π  и  x =  - 4π  ∈   [ -5π ; -7π/2] ;
---
x =π/4 + 2πn
-5π  ≤ π/4 +2πn  ≤ -7π/2   || *4 / π ||⇔ -20 ≤1+8n  ≤ -14 ⇔ -21/8 ≤n  ≤  -15/8⇒
n = -2  ,  x =π/4 - 4π = -3,75π.
---
x =3π/4 +2πn 
 -5π  ≤ 3π/4 +2πn  ≤ -7π/2    || *4 /  π ||⇔ -20  ≤ 3 +8n  ≤ -14 ⇔ -23  ≤ 8n  ≤ -17 ⇔ -23/8 ≤ n  ≤ -17 /8   нет целое число n.

ответ : {  - 5π ;  - 4π  ; -3,75π } .

Answer 2

А) Во-первых, можно разделить всё на √2
Во-вторых, cos(pi/2 + x) = -sin x, а cos^2 (pi/2 + x) = sin^2 x
√2*sin^2 x = sin x
√2*sin^2 x - sin x = 0
sin x * (√2*sin x - 1) = 0
1) sin x = 0; x = pi*k
2) sin x = 1/√2; x = pi/4 + 2pi*n; x = 3pi/4 + 2pi*m

б) В промежуток [-5pi; -7pi/2] попадают корни
x1 = -5pi; x2 = -4pi; x3 = pi/4 - 4pi = -15pi/4
x4 = 3pi/4 - 4pi = -13pi/4 > -7pi/2 - не подходит.
Ответ: x1 = -5pi; x2 = -4pi; x3 = pi/4 - 4pi = -15pi/4