Найти наибольшее значение функции y= (sin^2•2x)/( sin^4•x+cos^4•x)

Question 1

Question 2

Упростим сначала функцию:
$y=...= \dfrac{\sin^22x}{\sin^4x+\cos^4x+2\sin^2x\cos^2x-2\sin^2x\cos^2x} =\\ \\\\ = \dfrac{\sin^22x}{(\cos^2x+\sin^2x)^2-0.5\sin^22x} = \dfrac{\sin^22x}{1-0.5\sin^22x} =\\ \\\\ = -2\cdot\dfrac{\sin^22x-2+2}{\sin^22x-2} =-2\left(1+ \dfrac{2}{\sin^22x-2}\right)=-2- \dfrac{4}{\sin^22x-2}$

Область значений $\sin^22x$ - промежуток $[0;1]$

$0 \leq \sin^22x \leq 1\,\, |-2\\ \\ -2 \leq \sin^22x-2 \leq -1$
Поменяем знак неравенства на противоположный(после того как перевернем дробь)
$-1 \leq \dfrac{1}{\sin^22x-2} \leq - \dfrac{1}{2} \,\, |\cdot(-4)$
При умножение неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный
$2 \leq - \dfrac{4}{\sin^22x-2} \leq 4\,\,\,|-2\\ \\\\ 0 \leq -2 -\dfrac{4}{\sin^22x-2} \leq 2$

Наибольшее значение функции равно $2.$

аноним · Answer 1 · 2018-05-11T04:20:39+0000

Упростим сначала функцию:
$y=...= \dfrac{\sin^22x}{\sin^4x+\cos^4x+2\sin^2x\cos^2x-2\sin^2x\cos^2x} =\\ \\\\ = \dfrac{\sin^22x}{(\cos^2x+\sin^2x)^2-0.5\sin^22x} = \dfrac{\sin^22x}{1-0.5\sin^22x} =\\ \\\\ = -2\cdot\dfrac{\sin^22x-2+2}{\sin^22x-2} =-2\left(1+ \dfrac{2}{\sin^22x-2}\right)=-2- \dfrac{4}{\sin^22x-2}$

Область значений $\sin^22x$ - промежуток $[0;1]$

$0 \leq \sin^22x \leq 1\,\, |-2\\ \\ -2 \leq \sin^22x-2 \leq -1$
Поменяем знак неравенства на противоположный(после того как перевернем дробь)
$-1 \leq \dfrac{1}{\sin^22x-2} \leq - \dfrac{1}{2} \,\, |\cdot(-4)$
При умножение неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный
$2 \leq - \dfrac{4}{\sin^22x-2} \leq 4\,\,\,|-2\\ \\\\ 0 \leq -2 -\dfrac{4}{\sin^22x-2} \leq 2$

Наибольшее значение функции равно $2.$