Проинтегрировать дифференциальное уравнение а) y-y'cosx=(y^2)cosx(1-sinx)

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Разделим обе части уравнения на $y^2\cos x$ , получим:
$- \dfrac{y'}{y^2} + \dfrac{1}{y\cos x} =1-\sin x$

Пусть $u= \dfrac{1}{y}$ , тогда получаем:

$\dfrac{du}{dx} + \dfrac{u}{\cos x} =1-\sin x\,\,\, \big|\cdot dx$
$du+\bigg(\sin x-1+ \dfrac{u}{\cos x}\bigg)dx=0$

Проверим, является ли дифференциальное уравнение в полных дифференциалах.
$\displaystyle \frac{\partial M}{\partial u} = \frac{\partial}{\partial u} \bigg(\sin x-1+ \frac{u}{\cos x} \bigg)=\frac{1}{\cos x} \\ \\ \\ \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \big(1\big)=0$

Поскольку $\dfrac{\partial M}{\partial u} \ne \dfrac{\partial N}{\partial x}$ , значит уравнение не в полных дифференциалах.

Найдем интегрирующий множитель:
$\phi(x)= \dfrac{ \frac{\partial M}{\partial y}- \frac{\partial N}{\partial x} }{N} = \dfrac{1}{\cos x}$

$\displaystyle \mu=e^\bigg{\int \phi(x)dx}=e^\bigg{\int \frac{dx}{\cos x} }= e^\bigg{\ln| \frac{1+\sin x}{\cos x}| }= \frac{1+\sin x}{\cos x}$

Домножим обе части уравнения интегрирующий множитель:
$\dfrac{1+\sin x}{\cos x}du+ \dfrac{u(1+\sin x)}{\cos^2 x} dx=0$

Проверим, является ли последнее уравнение в полных дифференциалах.

$\dfrac{\partial M}{\partial u} = \dfrac{1+\sin x}{\cos^2x}\\ \\ \dfrac{\partial N}{\partial x} = \dfrac{\cos^2x+\sin^2x+\sin x}{\cos^2x}= \dfrac{1+\sin x}{\cos^2x}$

Итак, является уравнением в полных дифференциалах.
Значит существует некоторая функция $z(x;u)=C$

$\displaystyle \dfrac{\partial z}{\partial u} = \frac{1+\sin x}{\cos^2x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \,\,\,\, (\star)\\ \\ \\ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{u(1+\sin x)}{\cos^2x}$
Проинтегрируем $(\star)$ по $u$ , то есть:
$z= \dfrac{u(1+\sin x)}{\cos^2x} +g(u)$
Теперь дифференцируем по $x$
$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{u(1+\sin x)}{\cos^2 x} +g'(u)$

Подставим

$\dfrac{u(1+\sin x)}{\cos^2 x}+g'(u)=\dfrac{u(1+\sin x)}{\cos^2 x}\\ \\ g'(u)=1\\ g(u)=u$

То есть, имеем решение относительно переменной $z$
$\dfrac{u(1+\sin x)}{\cos^2 x}+u=C$

Обратная замена

$\boxed{\frac{1+\sin x}{y\cos^2 x}+ \frac{1}{y} =C}$ - общий интеграл

аноним 11 Май, 18