Найдите предел последовательности {xn}, заданной следующим образом: x1=2, xn+1=1+1/xn....

Исследуем разность последовательных членов

$x_{n+1}- x_{n}=1+ \frac{1}{ x_{n} } - x_{n} = \frac{ x_{n}+1- x_{n} ^{2} }{ x _{n} }$

положительный корень числителя (квадратное уравнение)

$x= \frac{1+ \sqrt{5} }{2}$

это и есть предел последовательности, причем можно заметить, что последовательность колеблется вокруг этого значения

иллюстрация к этой последовательности