Решите пожалуйста :) очень надо)

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

$y=\dfrac{-2x^2-10x-15}{x^2+5x+6}$
1. Область определения функции: $x^2+5x+6\ne 0\,\,\,\, \Rightarrow\,\, (x+2)(x+3)\ne 0$
$D(y)=(-\infty;-3)\cup(-3;3)\cup(3;+\infty)$

2. Проверим на четность функции:
$y(-x)= \dfrac{-2\cdot(-x)^2-10\cdot (-x)-15}{(-x)^2+5\cdot(-x)+6} = \dfrac{-(2x^2-10x+15)}{-(-x^2+5x-6)} \ne y(x)$
Функция ни четная ни нечетная.

3. Функция непериодическая

4. Точки пересечения с осью Ох и Оу
4.1. С осью Ох, это если y=0
$-2x^2-10x-15=0$
Вычислим дискриминант
$D=b^2-4ac=(-10)^2-4\cdot(-2)\cdot(-15)=-20\ \textless \ 0$
Поскольку $D\ \textless \ 0$ , то уравнение действительных корней не имеет.
4.2. С осью Оу, если это х =0
$y=-2.5$

5. Точки экстремума.
$y'= \dfrac{(-2x^2-10x-15)'(x^2+5x+6)-(-2x^2-10x-15)(x^2+5x+6)'}{(x^2+5x+6)^2} =$

$= \dfrac{6x+15}{(x^2+5x+6)^2}$
Приравниваем ее к нулю:
$6x+15=0\\ x=-2.5$ - критическая точка

___-__(-3)__-__(-2,5)__+___(-2)__+____
Функция возрастает на промежутке $x \in (-2.5;-2)$ и $x \in (-2;+\infty)$ , а убывает на промежутке $x\in (-\infty;-3)$ и $x \in (-3;-2.5)$
В окрестности точки $x=-2.5$ производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точки $x=-2.5$ - точка минимума.

6. Точки перегиба
$y''= \dfrac{(6x+15)'(x^2+5x+6)^2-(6x+5)((x^2+5x+6)^2)'}{(x^2+5x+6)^4} =\\ \\ = \dfrac{(x^2+5x+6)(6x^2+30x+36-(12x+10)(2x+5))}{(x^+5x+6)^4} =\\ \\ =- \dfrac{18x^2+90x+114}{(x^2+5x+6)^3}$
Приравниваем к нулю
$- \dfrac{18x^2+90x+114}{(x^2+5x+6)^3} =0\\ \\ 18x^2+90x+114=0\\ D=b^2-4ac=90^2-4\cdot18\cdot 114\ \textless \ 0$
Уравнение действительных корней не имеет.

__-___(-3)___+____(-2)__-___
На промежутке $x \in (-\infty;-3)$ и $(-2;+\infty)$ функция выпукла, а на промежутке $x \in (-3;-2)$ - вогнута

Вертикальные асимптоты: $x=-3;\,\,\,\, x=-2$

Горизонтальные асимптоты:
$- \dfrac{2x^2+10x+15}{x^2+5x+6} =-2- \dfrac{3}{x^2+5x+6} \to _{x\to \infty}-2$

Наклонных асимптот нет.

аноним 11 Май, 18