Все решения уравнения tgx*ctgx+sin4x=1

$tg x\cdot ctgx+\sin4x=1\\ \\ 1+\sin4x = 1\\ \\ \sin4x = 0 ;\\ \\ 4x= \pi k,k \in \mathbb{Z}\\ \\ x= \dfrac{\pi n}{4},n \in \mathbb{Z}$

Если $n$  четное, то дробь обращается в $0$ , поэтому при четных $n$ уравнение решений не имеет.

Ответ: $x= \dfrac{\pi n}{4} ,\,\,\, n=2k+1,\,\, k \in \mathbb{Z}$