Найдите сумму первых n четных натуральных чисел

Мой совет - запомнить как основную формулу для суммы первых n натуральных чисел

$S_n=1+2+3+\ldots + n=\frac{n(n+1)}{2}$

Доказывается она так: записываем те же числа в обратном порядке:

$S_n=n+(n-1)+(n-2)+\ldots +2+1$

и складываем эти равенства таким образом: первое слагаемое с первым, второе со вторым и т.д. Поскольку в первой сумме каждое следующее слагаемое на 1 больше предыдущего, а во второй на 1 меньше предыдущего, мы получим сумму одинаковых чисел:

$2S_n=(1+n)+(2+n-1)+(3+n-2)+\ldots +(n-1+2)+(n+1);$

$2S_n=(n+1)+(n+1)+(n+1)+\ldots + (n+1);$

слагаемых всего n, поэтому

$2S_n=n(n+1)\Rightarrow S_n=\frac{n(n+1)}{2}.$

Теперь несложно найти сумму первых n четных чисел. Можно провести подобную выкладку, а можно свести новую задачу к предыдущей:

$2+4+6+\ldots +2n=2(1+2+3+\ldots n)=2\frac{n(n+1)}{2}=n(n+1)$

Ответ: $n(n+1)$