Если кратко, то поход Батыя на Русь и в Европу длился с 1237 по 1242 годы. У него было две своеобразных "волны":
1)1237-1238. Это поход на Северо-Восточную Русь. Начался со знаменитой осады Рязани. Подвиг Евпатия Коловрата совершён после её падения. Крупнейшие города Северо-Востока Руси пали за достаточно короткие сроки. Русские князья не смогли объединить силы для единодушного отпора и были разбиты. Попытка Великого князя Юрия Всеволодовича остановить монголов силами нескольких княжеств (битва на р. Сить) тоже провалилась. В этом бою он погиб. Самый северный взятый город - Торжок. Дальше происходит знаменитый поворот войск Орды на юг за 120 км до Новгорода (то ли распутица, то ли новгородцы откупились, то ли монголы просто заблудились в лесах и болотах, называются разные версии). По дороге на юг они продолжали уничтожать всё на своём пути. Небольшой город Козельск оказал неожиданно ожесточённое сопротивление, держа монголов 3 недели (обычно русские города или сразу брались штурмом или держались 2-5 дней).
2)1239-1242. Вторая "волна". Поход против Юго-Западной Руси и Восточной Европы. Разорение Черниговского княжества, осада Киева. Осада длилась около двух месяцев, после чего город был взят штурмом и разграблен, как и всё княжество. Галицко-волынская Русь оказала относительно более успешное сопротивление, некоторые города ордынцы так и не смогли взять, отступив от их стен.
В результате всего этого монголы дошли до Венгрии, Польши и Балканского полуострова.
