½(–5+3) = ½(1+x), ½(5+7) = ½(3+y),
откуда x = –3, y = 9.
1) Уравнение прямой AD, проходящей через точки (–5; 5) и (–3; 9), имеет вид
y = (9–5)(x–(–5))/(–3–(–5))+5 = 2x + 15.
2) Высота перпендикулярна AD, поэтому угловой коэффициент соответствующей прямой равен –½, то есть её уравнение y = –½x + b. Высота должна проходить через точку B(1; 3), то есть
3 = –½·1+b, откуда b = 7/2. Уравнение высоты: y = –x/2 + 7/2.
Чтобы вычислить длину высоты, найдём точку её пересечения со стороной AD как решение системы
{ y = –x/2 + 7/2,
{ y = 2x + 15.
Домножив первое уравнение на 4 и сложив, получаем 5y = 29, y = 29/5, при этом x = 7–2y = 7–58/5 = –23/5.
Длина высоты равна расстоянию между точками B(1; 3) и (–23/5; 29/5), то есть
√((–23/5–1)²+(29/5–3)²) = √(784/25 + 196/25) =
= √(980/25) = √(14²/5) = 14/√5.
3) Координаты известны (B(1; 3), D(–3; 9)), прямая:
y = (9–3)(x–(–3))/(–3–1)+9 = –3/2·x + 9/2.
4) vec(AC) = (8; 2), vec(BD) = (–4; 6). Находим двумя способами скалярное произведение этих векторов:
vec(AC)·vec(BD) = 8·(–4) + 2·6 = –20;
vec(AC)·vec(BD) = |AC|·|BD| cos ⁄ (AC, BD) =
= 2√(17)·2√(13) cos ⁄ (AC, BD).
Поэтому ⁄ (AC, BD) = arccos(5/√(221)).