4) Начнем с правой части: ctg β - tg α=(cos β)/(sin β)-(sin α)/(cos α)=
(cos α cos β-sin α sin β)/(cos α sin β)=cos(α+β)/(cos α sin β)
Тождество, также обведенное Вами и расположенное выше, записано с ошибкой. Снова начнем с правой части.
Числитель равен (cos α sin β+ sin α cos β)/(sin α cos β)=
sin (α+β)/(sin α cos β)
Знаменатель равен sin (β-α)/(sin α cos β),
в результате правая часть равна sin (α+β)/sin (β-α), а вовсе не тому, что в правой части.
Если же мы хотим тождество, в которое входит левая часть, то правую нужно поменять на (ctg αctg β+1)/(ctg α ctg β -1)