Найдите первообразную функцию f(x)= 3x^2-4x+5, график которой проходит через точку М (2, -7).
---
F(x) = ∫ f(x)dx = ∫(3x² - 4x +5 )dx = ∫3x²dx - ∫4xdx + ∫5 dx = x³ -2x² +5x +C ;
C _постоянная интегрирования
По условию М ∈ графику F(x)
F(2) = -7 ⇔ 2³ -2*2² +5*2 +С = -7 ⇒ С = -17.
ответ F(x) = x³ -2x² +5x -17.
=====================
∫ (2√x -x)² dx = ∫ (4x - 4√x³ +x²) dx = ∫ 4xdx - ∫ 4√x³dx +∫x² dx=
2x² - (8/5)√x⁵ + x³/3 | a =1 ; b =4
I =(2*4² - (8/5) √4⁵ + 4³/3 ) -(2*1² - (8/5) √1⁵ + 1³/3 ) =51 - 40,6 =1,4.
=====================
∫ ( (e^x -x³) /x³e^x ) )dx = ∫ ( ( e^x /x³e^x -x³ /x³e^x ) )dx =∫ ( x⁻³ - e^(-x) )dx =
∫x⁻³dx - ∫e^(-x)dx =x⁻²/(-2) + e^(-x) | a =1;b=2
I = (2⁻²)/(-2) +e ^(-2) - (1⁻² / (-2) +e ^(-1) ) = -1/8 +1/e² +1/2 -1/e =
= 3/8 +1/e² -1/e .