Решение
1.
Находим первую производную функции:
y' = - 4sin2x + 4cos2x
или
y' = 4cos2x
Приравниваем ее к нулю:
4cos2x = 0
cos2x = 0
2x = π/2
x₁ = π/4
x₂ = 3π/4
Вычисляем значения функции
f(π/4) = 4*sin(π/4)*cos(π/4) - 1 = 4 * (√2/2)*(√2/2) - 1 = 2 - 1 = 1
f(3π/4) = 4*(-√2/2)*(√2/2) - 1 = - 2 - 1 = - 3
Ответ: fmin = - 3, fmax = 1
Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:
y'' = - 16sinxcosx
или
y'' = - 8sin2x
Вычисляем:
y``(π/4) = - 8sin(2*(π/4)) = - 8sin(π/2) = - 8 < 0,
значит эта точка - максимума функции.
y``(3π/4) = - 8sin(2*(3π/4)) = - 8sin(3π/2) = - 8*(-1) = 8 > 0,
значит эта точка - минимума функции.
2.
sin2x - cosx < 0
2sinx*cosx - cosx < 0
cosx(2sinx - 1) < 0
1) cosx = 0
x = π/2 + πk, k ∈ Z
2) 2sinx - 1 = 0
sinx = 1/2
x = (-1)^n arcsin(1/2) + πk, k ∈ Z
x = (-1)^n * (π/6) + πk, k ∈ Z
(-1)^n * (π/6) + πk < x < <span>π/2 + πk, k ∈ Z