Первое уравнение имеет вид |p|+|q|=p+q и поэтому равносильно системе p≥0; q≥0.
x^2+(y+1)^2≤10 - круг с центром в точке (0;-1) и R=√10;
-2y≥0⇔y≤0.
Таким образом, первое уравнение задает часть круга, расположенную в нижней полуплоскости; прямая y=0 пересекается с окружностью в точках D(-3;0) и E(3;0).
Второе уравнение - уравнение прямой. Эта прямая проходит через точку D, если 15·0+3a=(4a+15)·(-3)⇒a= - 3 ⇒15y-9=3x; x-5y+3=0. Подставив x=5y-3 в уравнение окружности, находим вторую точку пересечения (31/13;14/13)⇒прямая проходит по верхней части круга и пересекается с множеством решений первого уравнения только в точке D ⇒a= - 3 входит в ответ.
Аналогично исследуем точку E:
15·0+3a=(4a+15)·3; 3a=-15; a= - 5⇒15y-15=-5x; x+3y-3=0; подставив x=3-3y в уравнение окружности, находим вторую точку пересечения (-9/5;8/5)
⇒прямая проходит по верхней части круга и пересекается с множеством решений первого уравнения только в точке E ⇒a= - 5 входит в ответ.
Остается понять, при каких a прямая будет касаться окружности, что равносильно тому, что расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу. Если прямая имеет уравнение
Ax+By+C=0, а точка M_0(x_0;y_0), расстояние равно
|Ax_0+By_0+C|/√(A^2+B^2).
|(4a+15)0-15(-1)-3a|/√((4a+15)^2+(-15)^2)=√10;
(15-3a)^2=((4a+15)^2+(-15)^2)·10;
225-90a+9a^2=160a^2+1200a+4500;
151a^2+1290a+4275=0. D=1290^2-4·151·4275< 0⇒решений нет
Ответ: -3; - 5